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Correction du DS : Coordonnées et systèmes. Page sur MATHEMATIQUES - D.S. - - Correction (Coordonnées et systèmes). Troisième Exercice 1 (D’après Brevet 2006)
1) Résoudre le système : 2) Pour classer des photos, un magasin propose deux types de rangement : des albums ou des boîtes. Léa achète 6 boîtes et 5 albums et paie 57 € ; Hugo achète 3 boîtes et 7 albums et paie 55,50 €. Quel est le prix d'une boîte ? Quel est le prix d'un album ? Correction 1) Résoudre le système Multiplions les termes de la 2ème équation par deux puis remplaçons la 2ème par la différence :
y = 54/9 = 6; reportons cette valeur dans la 1ère équation : 6x = 57 - 5y = 57 – 56 = 57 - 30 = 27 ; donc x = 27/6 = 4,5. Le système a pour solution . 3 points 2) Quel est le prix d'une boîte ? Quel est le prix d'un album ? Si nous appelons x le prix d'une boîte et y celui d'un album, la première affirmation se ramène à l'équation 6x + 5y = 57 et la deuxième affirmation à l'équation 3x + 7y = 55,50. Le problème posé se ramène à la résolution du système d'équations traité à la 1ère question. Une et . 1.5 points Exercice 2 (D’après Brevet 2006)
On considère le système suivant : 1) Le couple (x = 2 ; y = 0,5) est-il solution de ce système ? 2) Résoudre le système d'équations. 3) A la boulangerie, Anatole achète 2 croissants et 3 pains au chocolat : il paie 5,50 €. Béatrice achète 3 croissants et 1 pain au chocolat et paie 4,05 €. Quel est le prix d'un croissant ? Quel est le prix d'un pain au chocolat ? 4°) Combien coûteraient 5 pains au chocolat et 3 croissants ? Correction : 1) Le couple (x = 2 ; y = 0,5) est-il solution de ce système ? 2 2 + 3 0,5 = 4 + 1,5 = 5,5 ; 3 2 + 0,5 = 6 + 0,5 = 6,5 ¹ 4,05 Le couple ne vérifie pas la deuxième équation, il n'est pas solution du système. 2) Résoudre le système d'équations. Isolons y dans la 2ème équation : y = 4,05 - 3x Reportons sa valeur dans la 1ère équation :
y = 4,05 - 3x = 4,05 - 2,85 = 1,2 Le système a pour solution le couple . 3) Quel est le prix d'un croissant ? Quel est le prix d'un pain au chocolat ? Appelons x le prix d'un croissant et y le prix d'un pain au chocolat. La première affirmation se traduit par l'équation 2x + 3y = 5,50, la deuxième affirmation se traduit par l'équation 3x + y = 4,05. Nous sommes ramenés au système traité précédemment, le prix , le prix 4°) Combien coûteraient 5 pains au chocolat et 3 croissants ? 51,20 + 30,95 = euros Exercice 3 : 10 points 1) Placer les points A (-3 ; 1), B (-l,5 ; 2,5), C (3 ; -2) et D(1,5 ;-3,5) dans un repère orthonormé (O, I, J) (unité le centimètre). 2) Montrer que AC =  , AB =  et BC =  , 3) Démontrer que ABC est un triangle rectangle. 4°) Déterminer les coordonnées du milieu du segment [BD] puis du milieu du segment [AC]. 5°) Que peut-on conclure des question 3°) et 4°) sur la nature du quadrilatère ABCD ? 6°) Déterminer le rayon et les coordonnées du centre du cercle circonscrit au quadrilatère ABCD. Correction : 1) Placer les points A (-3 ; 1), B (-l,5 ; 2,5) ,C (3 ; -2) et D(1,5 ;-3,5) : 2) Montrer que AC = . de même AB = et BC = (en cm) 3) Sachant que AB = et BC = , démontrer que ABC est un triangle rectangle.Si ABC est rectangle c’est en B car [AC] est le plus grand côté. Dans le triangle ABC, nous avons AC2 = AB2 + BC2, d'après la réciproque du théorème de Pythagore, nous concluons que le triangle ABC est rectangle en B. 4) Coordonnées du milieu du segment [BD] et de [AC] Les coordonnées du milieu de [BD] sont ( ; ) soit 1 point Les coordonnées du milieu de [AC] sont ( ; ) soit 1 point 5°)
6°) ABCD étant un rectangle, son cercle circonscrit est de centre M et de rayon MA=MB=MC=MD car les diagonales d’un rectangle sont de même mesure. MA = = soit  MATHEMATIQUES - D.S. - - Correction (Coordonnées et systèmes). Troisième
1) Résoudre le système suivant : 2) Une balade d'une heure en mer est proposée à deux groupes de touristes. Le premier groupe, composé de 8 adultes et de 3 enfants, paie 39,50 €.Le second, composé de 7 adultes et de 9 enfants, paie 50,50 €. Quel est donc le prix d'un ticket pour un adulte ? Pour un enfant ? Correction. 1) Résoudre le système : Multiplions les termes de la 1ère équation par 3 puis remplaçons la 1ère par la différence :
17x = 68 donc x = 68/17 = 4 ; reportons cette valeur dans la 2ème équation : 74 + 9y = 50,5 donc 9y = 50,5 - 28 = 22,5 et y = 22,5/9 = 2,5 . 2) Quel est le prix d'un ticket pour un adulte ? pour un enfant ? Appelons x le prix d'un ticket pour adulte et y le prix pour un enfant. La première affirmation se ramène à l'équation 8x + 3y = 39,5 et la deuxième affirmation se ramène à l'équation 7x + 9y = 50,5. Nous sommes ramenés à la résolution du système traité à la première question, le prix d'un ticket adulte est de 4 €, celui d'un ticket enfant se 2,5 €. Exercice 2 (D’après brevet 2004) 1. Résoudre le système suivant : 2. Montrer que le couple (1; 3,5) est solution du système suivant : 3. Un artisan fabrique des perles noires et des perles dorées. Un sac contenant 10 perles noires et 4 perles dorées est vendu 24 euros. Un sac contenant 3 perles noires et 6 perles dorées est vendu également 24 euros. Combien serait vendu un sac contenant 4 perles noires et 3 perles dorées ? + = Correction : 1. Résoudre le système
La deuxième équation nous permet de conclure que x = 4/4 = 1. Reportons cette valeur dans la 1ère équation. 5x1 + 2y = 12, donc 2y = 12 - 5 = 7, y = 7/2 = 3,5. Le système a pour solution 2. Montrer que le couple (1; 3,5) est solution du système 10x + 4y = 10 + 4 x 3,5 = 10 + 14 = 24 ; 3x + 6y = 3 + 6 x 3,5 = 3 + 21 = 24.
3. Combien serait vendu un sac contenant 4 perles noires et 3 perles dorées ? Appelons x le prix d'une perle noire et y le prix d'une perle dorée. Les deux affirmations citées peuvent se représenter par les 2 équations : 10x + 4y = 24 et 3x + 6y = 24. Nous sommes amenés à résoudre le système vu à la question précédente et qui a pour solution le couple (1 ; 3,5). , . Un sac contenant 4 perles noires et 3 perles dorées coûte 4 + 3 x 3,5 = . Exercice 3 : (D’après brevet 2006) On considère un repère orthonormé (O, I, J). L'unité est le centimètre. 1°) Dans ce repère, placer les points : A (l ; 2) B (-2 ; l) C (-3 ; -2) et D(0 ; -1) 2°) Montrer que : AB=BC= et que CA = (en cm) 3°) Le triangle ABC est-il rectangle ? 4°) Calculer les coordonnées des milieux M et N des segments [AC] et [BD]. 5°) Que peut-on conclure des question 3°) et 4°) sur la nature du quadrilatère ABCD ? 6°) Le point C appartient-il au cercle de diamètre [BD] ? Correction : 1°) Dans ce repère, placer les points : A (1 ; 2) B (-2 ; 1) C (-3 ; -2) et D(0 ; -1) . 2°) Calculer les distances AB et BC. AB =  BC =  Et CA = = = Donc 3°) Si ABC est rectangle c’est en B car [CA] est le plus grand côté. donc AB² + BC² ¹ AC² et d’après la contraposée du théorème de Pythagore, le triangle ABC n’est pas rectangle. 4°) Calculer les coordonnées des milieux M et N des segments [AC] et [BD]. Les coordonnées du milieu de [BD] sont ( ; ) soit Les coordonnées du milieu de [AC] sont ( ; ) soit I=J Notons M ce milieu. 5°)
6°) Le point C appartient-il au cercle de diamètre [BD] ? Le cercle de diamètre [BD] est de centre M (-1 ;0) et de rayon MB=MD. On a D(0 ;-1) et M( -1 ;0) MD = = = or MC = = ¹ donc le point C n’appartient pas au cercle de diamètre [BD].  |
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