On admet que ce théorème se généralise et on retient la règle «à l’infini, les puissances de X l’emportent sur le logarithme de x». Exemples

Chapitre 7 TS 2 Fonctions logarithmes et fonctions associées I – La fonction logarithme népérien Introduction : Nous savons que la fonction exp : Est définie, continue, et strictement croissante sur , Vérifie et , Donc pour tout réel b strictement positif, l’équation a une unique solution a dans . Définition : Pour tout réel b strictement positif, on appelle logarithme népérien de b l’unique solution de l’équation (d’inconnue a) . On le note . La fonction logarithme népérien est la fonction définie sur par . Remarque fondamentale : ( et ) équivaut à . Pour tout réel x : car . Pour tout  : car . On dit que exp et ln sont des fonctions réciproques. car . car . II – Propriétés algébriques Propriété fondamentale : Preuve 1 Pour tous réels et . Propriétés : Preuve 2 Pour tous réels et  : . . , n entier relatif. III – Etude de la fonction ln Théorème : Preuve 3 La fonction ln est continue et dérivable sur . Pour tout réel  : . Propriétés : Preuve 4 ln est strictement croissante sur . Pour tous réels a et b strictement positifs : ssi . ssi . Propriété : Soit u une fonction strictement positive définie sur un intervalle I. u et ln u ont les mêmes variations. si de plus u est dérivable sur J alors ln u est dérivable sur I et, pour tout x de I, ou encore . Propriété fondamentale : Preuve 5 Soit une fonction f définie et dérivable sur telle que : pour tous a et b dans , , Alors . Théorème : Preuve 6  ; . Propriétés : Preuve 7 . Pour x proche de 0 : . Tableau de variation : Courbe : L’axe des ordonnées est asymptote à la courbe de ln. Théorème : Preuve 8 et  ; on admet que ce théorème se généralise et on retient la règle « à l’infini, les puissances de x l’emportent sur le logarithme de x ». Exemples : et car les puissances de x l’emportent sur le logarithme de x. IV – Puissance d’un réel strictement positif 1) Introduction Nous savons que, pour tout réel a strictement positif et tout entier naturel n : . Alors . Depuis peu, on sait que . Définition : Pour tout réel a strictement positif et pour tout réel b : . Remarque : Cette définition étend au réels celle donnée avec des exposants naturels. Les propriétés de calcul sur les puissances à exposants entiers seront encore valables. Exemples : . . 2) Fonction racine nième La fonction définie sur , avec n un entier naturel non nul. Elle est continue sur et strictement croissante sur  ; et . D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, pour tout réel positif a, l’équation admet une unique solution b dans . Définition : Pour tout réel positif a et pour tout naturel n non nul, l’unique nombre positif b solution de l’équation est appelé racine nième de a. On note . Remarque : et ssi ssi ssi donc . Exemples : . car . Définition : La fonction f définie sur par où n est un entier naturel non nul est appelée fonction racine nième. Propriétés : Preuve 9 f est continue sur . f est strictement croissante sur . . f est dérivable sur et, pour tout  , .

similaire:

	L'infini en mathématiques L'infini, des Grecs à Newton «Vide». La matière est donc discrète. Par ailleurs, pour les atomistes, les atomes sont en nombre infini et l’Univers est donc infini...		Cours (/) I. Fonction logarithme Népérien a. Définition : On considère...
	Essai sur la notion de cybercriminalité Par Mohamed chawki membre... «La cybercriminalité est la troisième grande menace pour les grandes puissances, après les armes chimiques, bactériologiques, et...		Soit la parabole kc glissant le long de la règle ka, qui correspond...
	Le debat regle au cycle 3 ...		L’esprit, les objectifs et l’approche de la matière «recettes» que l’on peut répliquer à l’identique et à l’infini sur toute forme d’organisation
	Suites arithmétiques et géométriques, Comportements global et à l’infini,...		Théorème de Rolle et théorème des accroissements finis
	Ii théorème de Bernoulli II démonstration de l’équation de Bernoulli.... «Théorie sur la mesure du risque», dans lequel IL énonce le Paradoxe de Saint-Pétersbourg considéré aujourd'hui par certains économistes...		Notes pour une présentation sur l’infini et autres curiosités mathématiques ...