Probabilités.
I -Rappel : trois exemples.
Exemple 1 : Dans une classe de 25 élèves, il y a 16 filles.
Tous les élèves sont blonds ou bruns.
Parmi les filles, 6 sont blondes.
Parmi les garçons, 3 sont blonds.
On choisit au hasard un élève de la classe.
Tous les élèves ont la même probabilité d’être choisis.
On définit les évènements suivants.
F : « l’élève choisi est une fille »
G : « l’élève choisi est un garçon »
B : « l’élève choisi est blond (ou blonde) »
Quelle est la probabilité de l’évènement F ?
Rappelez la formule et expliquez pourquoi vous pouvez l’utiliser.
Quelle est la probabilité de l’évènement G ?
Rappelez la formule utilisée.
Que signifie l’événement F ∩ B ?
Calculer sa probabilité.
Que signifie l’événement F  B ?
Calculer sa probabilité. Rappelez la formule utilisée.
Donner la signification des évènements suivants puis calculer leur probabilités.
B ;  ; G ∩ B ; G B ;  .
Exemple 2 : On dispose d’un dé truqué.
On sait que :
p(1) = p(2) =1/6 ; p(3) = 1/3 p(4) = p(5) =1/12
1) Que signifie p(1) ?
2) Calculer p(6).
Exemple 3 : On lance deux pièces de monnaie équilibrées.
1) Utiliser un arbre pour déterminer les événements élémentaires, puis définir une loi de probabilité.
L’ensemble des événements élémentaires est appelé l’univers.
Ω =
2) Déterminer un autre univers pour cette expérience puis définir une loi de probabilité.
II -Variables aléatoires.
Définition : Lorsqu’à chaque événement élémentaire d’une expérience aléatoire on associe un nombre réel, on définit une variable aléatoire.
Soit X une variable aléatoire prenant les valeurs x1 ;….xn.
L’événement « X prend la valeur xi » est noté (X = xi ).
Définir une loi de probabilité de X, c’est donner la valeur de p(X = xi), pour tout i, avec 1 ≤ i ≤ n.
Exemple 1: On lance deux pièces de monnaie équilibrées. On définit une loi de probabilité X sur l’univers Ω = {PP ; PF ; FP ;FF} égale au nombre de fois que l’on a obtenu « Face ».
Les valeurs prises par cette variable sont : 0 , 1 et 2.
On a :
(X = 0) = {PP} ; (X=1) = {PF ;FP} ; (X=2) = {FF}
Loi de probabilité :
Valeur xi prises par X.
|
0
|
1
|
2
|
Probabilité
|
|
|
|
Exemple 2 : Une urne contient 9 boules indiscernables au toucher.
5 boules noires, 3 boules blanches et 1 boule jaune.
Une boule noire fait perdre 1 point.
Une boule blanche fait gagner 2 point.
La boule jaune fait gagner 3 points.
1) On tire une boule de l’urne. Définir la loi de probabilité de la variable aléatoire X donnant le nombre de points.
2) On tire deux boules avec remise.
Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire X donnant le nombre de points.
(on pourra faire une tableau ou un arbre pondéré pour avoir toutes les issues possibles)
Exemple 3 : Une partie de « chance » coûte 2 € à un stand ;
La partie consiste à lancer trois pièces de monnaie équilibrées.
Si on obtient trois fois Pile, on gagne 10 €.
Sinon on perd.
1) Faire un arbre pour avoir toutes les issues
2) Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire G donnant le
Gain (algébrique)
Entieraléatoire(n ;p)
Est une instruction qui renvoie un entier aléatoire entre n et p.
TI : Math + PRB
entAlea (
Casio : OPTN + prob
: RanInt(
3) Que fait cet algorithme ?
Algo simulation
Début
Entieraléatoire(0,1) ↦ A
Entieraléatoire(0,1) ↦ B
Entieraléatoire(0,1) ↦ C
A + B + C ↦ N
Si N = 3
Alors afficher « vous avez gagné 8 € »
Sinon afficher « vous avez perdu 2 € »
Finsi
Remarque :
Si on remplace A + B + C ↦ N par A×B×C ↦ N
que doit-on mettre après : Si N = …
Peut-on remplacer les trois lignes Entieraléatoire (…)
par un ligne Entieraléatoire(0 ;3)
4) Ecrire un algorithme qui simule plusieurs parties et qui donne le gain final.
En entrée : le nombre de parties à simuler
En sortie : Le gain final.
Algorithme n_parties_chance
Début
Afficher "nombre de parties »
Entrer N
0 ↦ G
Pour i allant de 1 à N faire
Entieraléatoire(0,1) ↦ A
Entieraléatoire(0,1) ↦ B
Entieraléatoire(0,1) ↦ C
TI : « = » se trouve dans test
A +B + C ↦ D
Si D = 3
Alors G + 8 ↦G
Sinon G -2 ↦ G
Finsi
Finpour
Afficher "le gain est : ", G
Fin
5) Modifier l’algorithme pour qu’il donne le gain moyen par partie.
6) Programmation (livre p V)
Sur TI Sur casio
Program gain moy ====gain moy=========
: Disp “ nb de parties” “nb de parties”
: prompt N ?↦ N
: 0 ↦ G 0 ↦ G
: For ( i, 1,N) for 1 ↦ I to N step 1
: entAlea (0,1)↦A ranint(0,1) ↦A
: entAlea (0,1)↦B ranint(0,1) ↦B
: entAlea (0,1)↦C ranint(0,1) ↦C
: A + B + C ↦ D A + B + C ↦ D
: If D = 3 If D = 3
: Then Then G + 8 ↦ G
: G + 8 ↦ G
: Else else G – 2 ↦ G
: G – 2 ↦ G
: End Endif
: End Next
: Disp “ le gain est : “, G “le gain est :" : G
: Disp " le gain moyen ", G/N " le gain moyen ", G/N
Remarques : Si on effectue un très grand nombre de fois cette partie, on pourrait voir que le gain moyen se rapproche de -0,75.
On pourrait donc dire que l’on peut espérer gagner -0,75€ par partie on plutôt on dirait que l’on peut espérer perdre 0,75 € par partie !!!
La valeur -0,75 est l’espérance de la variable aléatoire du gain.
L’espérance est à une variable aléatoire ce que la moyenne est à une série statistique.
L’espérance est un des outils de base des assureurs, banquiers, joueurs de poker averti.
III -Espérance, variance et écart-type.
Soit X une variable aléatoire.
Valeur xi
|
x1
|
x2
|
….
|
xn
|
Probabilité
|
p1
|
p2
|
…
|
pn
|
Définitions :
L’espérance mathématique de la variable aléatoire X est le réel E(X) défini par :
E(X) = x1 p1+ x2 p2 + … + xn pn = 
La variance de la variable aléatoire X est le réel positif V(X) défini par :
V(X) = p1 ×(x1- E(X))2+ p2 ×(x2- E(X))2+ …+ pn ×(xn- E(X))2
V(X) =
L’écart type σ est défini par : σ = 
Exemple : Espérance de la partie « chance »
Gain xi
|
8
|
-2
|
Probabilité
|
1/8
|
7/8
|
E(X) = 8×  + (-2) × =  = - 0, 75
En moyenne, on peut espérer perdre 0,75 € par partie.
La variance est :
V(X) = 
V(X) = 10,9375
L’écart type est : σ = ≈ 3, 31
Notons Y la variable aléatoire définie par : Y = aX + b avec a et b deux réels.
Valeur de Y
|
a×x1 + b
|
a×x2 + b
|
….
|
a×xn + b
|
Probabilité
|
p1
|
p2
|
…
|
pn
|
Propriétés : E(aX + b) = aE(X) + b
V(aX) = a2 ×V(X)
Démonstration : p 187
E(aX + b) = p1(ax1 +b) + p2(ax2 +b)+ …+ pn(axn +b)
= a × (p1x1 + p2x2 + …+ pnxn) +b× (p1 + p2+ …+ pn)
=a× E(X) + b
V(aX) =  = 
= 
= 
= 
Exemple : On lance deux dés. La variable aléatoire X donne la somme du nombre de points des deux dés.
1) Définir la loi de probabilité de la variable aléatoire X puis calculer l’espérance de X. (On pourra faire un tableau pour avoir toutes les issues)
2) Chaque point rapporte deux euros. Calculer l’espérance de la variable aléatoire G donnant le gain.
3) a) Si on fait payer 5 euros la partie. Calculer l’espérance de la variable aléatoire B donnant le gain effectif.
b) Combien doit-on faire payer une partie pour qu’elle soit équitable ? |
