Notes pour une présentation sur l’infini et autres curiosités mathématiques
télécharger 119.28 Kb.
|
Camp de l’AMQCarrefour des sciences Rimouski, juin 2007Notes pour une présentation sur l’infini et autres curiosités mathématiques Philippe Etchecopar, Cégep de Rimouski 1 L’infiniContinu ou discontinu?Pythagore : temps et espace constitué d’éléments indivisibles, l’atomisme Anaxagore : temps et espace continu, divisible à l’infini Réponse actuelle ? ZénonImpossibilité du mouvement si le temps et l’espace sont continus : on ne peut parcourir une infinité de points en un temps fini Achille : si le temps est continu (divisible à l’infini), Achille ne rattrapera pas la tortue, le mouvement est impossible  Si le temps est divisible à l’infini, la flèche ne pourra atteindre sa cible, le mouvement est impossible  Si le temps est discontinu, la flèche ne peut voler, le mouvement est impossible  Impossibilité de l’étude du mouvement Mathématiques statique (géométrie) et société immobile L’infini potentiel ou l’infini actuel?L’infini potentiel, un processus sans fin L’infini actuel, un « objet » en soi Un débat infini…. Les paradoxes de l’infiniLe cercle  Les entiers et les nombres pairs  Les entiers et les carrés  Un des paradoxes de Russel Si quelqu’un met deux ans pour écrire 2 jours de sa biographie, s’il a l’éternité, il écrira sa vie… L’Église et l’infiniLe problème de Dieu et l’infini Le calcul différentiel au XVIIUne société et des mathématiques en mouvement Les infiniment petits Les séries ou le calcul de l’infiniLa série géométrique   Euler  1=0,999 ? x=0,999 10x=9,999 10x-x=9,999-0,999 10x-x=9 9x=9 x=1=0,9999 Cantor Le tout et ses parties Différents infinis Deux infinis sont de même niveau s’il existe une bijection entre eux Comme il peut y avoir bijection entre un ensemble et un autre qu’il contient, par exemple N et les entiers pairs, une caractéristique de l’infini c’est qu’une partie peut être aussi « grande » que le tout. Des infinis égaux, une bijection… Identité entre l’infini des entiers et celui des rationnels La liste des entiers, la liste des rationnels (par diagonale)
Des infinis inégaux, pas de liste Définition des réels, les irrationnels Il a prouvé qu’il était impossible d’établir une règle permettant de « lister » les nombres réels de l’intervalle  . Il a supposé qu’une telle liste existait et qu’elle débutait par les nombres ci-dessous : Cette liste est infinie, mais supposons qu’elle renferme tous les nombres réels de l’intervalle . Il faut maintenant prouver que c’est impossible. Pour le prouver, il suffit de trouver un seul nombre qui ne puisse pas être sur cette liste, Soit X ce nombre et voici comment Cantor l’a composé :- Comme première décimale de X, prenons n’importe quel nombre sauf la première décimale du premier nombre ; - Comme seconde décimale de X, prenons n’importe quel nombre sauf la seconde décimale du second nombre ; - Comme troisième décimale de X, prenons n’importe quel nombre sauf la troisième décimale du troisième nombre ; Et ainsi de suite. Comme X est réel (aucune période dans son développement décimal) et qu’il est différent de chacun des éléments de cette liste, alors X ne peut appartenir à celle-ci. Ce qui prouve que cette liste n’existe pas. Nous nous sommes limités à l’intervalle et le résultat se généralise à l’ensemble R des nombres réels.Conclusion : L’infini des réels est infiniment plus grand que celui de N et Q Il y a autant….. « je le vois mais je ne le crois pas! » Les nombres Les nombres et l’infini, prise 0 Tous les livres dans les décimales d’un réel Les nombres et l’infini, prise 1 L’infini vertigineux en math 10100 est un « gogol », 1 suivi de 100 zéros. L’âge de l’univers, en s, est de 5*1017 tandis que le nombre de particules de l’Univers est de 1080 Poursuivons l’exponentielle : soit  1 suivi d’un gogol de zéros s’écrit aussi  c’est un gogolplexContinuons :  , 1 suivi d’un gogolplex de 0Continuons toujours  , nous passons de trois flèches à 100 flèches…On peut maintenant jouer sur le nombre de flèches est : L’imagination ne suit plus sur la grandeur, mais le processus est clair et simple Un nombre défini par 1 suivi d’un gogolplex des chiffres est « immense », mais il est infiniment petit comparé à un nombre comme qui a une infinité de décimales, Les nombres et l’infini, prise 2 Les ordres de grandeur, selon les disciplines Les grains de blé d’un échiquier 2+22+…+ 264 Économie : la somme des PIB 1014 en euros, 1020 en livres turques En biologie 1014 cellules dans un être humain, 1036 bit d’information En physique, 1080 particules, en mécanique quantique, 10120 bits d’information Les nombres et l’infiniment petit, prise 3 Reprendre avec des puissances négatives… En physique 10-35 comme longueur et 10-43 comme temps (Planck) Les nombres et l’infini, prise 4 N, entier, les grecs Q, les rationnels, les proportions I, les irrationnels, la crise Par l’absurde  est rationnel, donc a et b étant entiers irréductibles,donc  , soit  , a2 est pair donc a est pair et a=2k, soit  , donc  et b serait aussi pair. ContradictionZ les relatifs, la crise C les complexes, la crise Cardinal Si A a deux éléments, P(A) a 22 Si A a n éléments, P(A) a 2n éléments Les transfinis Les nombres transfinis sont des « nombres » qui représentent le nombre d’éléments de divers ensembles infinis. Ainsi le premier transfini est 0 qui représente le nombre d’élément de N, les entiers. Le second transfini,  , représente le nombre d’éléments de l’infini suivant, R.
Godel et l’hypothèse du continu Problème de Cantor : Entre  , qui représente l’infini des rationnels (discret) et qui représente l’infini des réels (continus), existe-t-il un autre  ?Réponse de Godel puis de Cohen: indécidable Définition des maths Les réalistes (Platon) Les formalistes (Hilbert) Les constructivistes (Brouwer) Récurrence Prouver à l’infini Pour montrer qu’une propriété associée à N est toujours vraie, il faut : Montrer qu’elle est vraie une fois On a alors le droit de supposer qu’elle est vraie une fois quelconque Il faudra alors démontrer qu’elle sera vraie la fois suivante! On aura alors démontré la propriété à l’infini : si une fois qu’elle est vraie, elle sera vraie la fois suivante, cela roulera à l’infini! Le petit Gauss Additionner les 1000 premiers entiers  500500 Par récurrence  FibonacciLes lapins   1 ,1, 2, 3,5 ,8, 13, 21, Fibonacci et les plantes 21 et 34 spirales  Pour les ananas 8 dans le sens des aiguilles d’une montre, 13 dans l’autre Pour une pomme de pin 13 dans le sens des aiguilles d’une montre, 21 dans l’autre Pour la fleur de tournesol 34 ou 55 dans le sens des aiguilles d’une montre, 55 ou 89 dans l’autre L’explication des biologistes  De Fibonacci au nombre d’or Rapport des termes consécutifs :  Terme général  Comme  est plus petit que 1,  tend vers 0 lorsque N tend vers l’infini.Donc quand N tend vers l’infini,  tend vers  étant le nombre d’or  Le rapport de deux termes consécutifs tend donc vers le nombre d’or Phi, le nombre d’orPHI pour Phidias (Parthénon), définition par Euclide Une droite est dite coupée en extrême et moyenne raison comme quand elle est toute entière relativement au plus grand segment ainsi est le plus grand relativement au plus petit a=AC, b=CB    Si  alors Soit  Donc  Luca Pacioli Le nombre d’or  est la racine positive, soit    Xavier Gourdon et Pascal Sebah 3,141 milliards de décimales Fraction continue  , donc : Puis  Si on prend 1    Rectangle d’or Rectangle dont les cotés sont dans la « divine proportion »  Construction du rectangle d’or  l=1  Donc  On a ainsi  donc  On remarque que le petit rectangle est lui aussi un rectangle d’or Spirale On reprend les deux rectangles précédents, puis dans le petit rectangle on reprend un second petit rectangle d’or et ainsi de suite. La spirale se construit ainsi :   De l’esthétique au racisme Au XIX Adolf Zeising      Le mythe du nombre d’or Matyla Ghyka D’autres nombres : Pi (cercle), (carrés), e (limite, exponentielle), etcCoïncidences Approximations Sentiment de détenir un secret Test sur la beauté des rectangles, 1,83 Voir Les inattendus mathématiques de Jean Paul Delahaye Site d’André Ross   Le nombre PiOmni présence du cercle Papyrus du Rhind (Égypte), Chine  Le double de l’unique racine  avec  La quadrature du cercle, un problème fameux! Il s’agit de savoir si on peut construire un carré dont la surface équivaut à celle d’un cercle de rayon R? Pour y arriver, il faut calculer  ?À partir du XVII le nombre est surtout défini par l’analyse Newton 16 décimales, Euler 20 en 1 heure Yasumasa Kanada 1,241,1 milliards super Hitachi en 400h mais algorithme 5 ans Irrationnel : démontré en 1761 par Lambert, les nombres de la suites décimale ne peuvent être prévus Transcendant : il n’est pas solution d’une équation à coefficients rationnels, démontré en 1881 par Lindemann. La quadrature n’est donc pas possible! Formules Viète  Wallis  Leibniz  Euler  La formule synthèse :  Probabilités  aiguille BuffonIl s'agit d'un problème de probabilités géométriques posé (et résolu) par  Buffon. Sur un parquet composé de planches parallèles, toutes de même largeur, on jette des aiguilles au hasard, et on cherche la probabilité pour qu'une aiguille tombe à cheval sur deux planches. Soit c la largeur des planches, et d la longueur de l'aiguille. Pour simplifier, on suppose que  . On note r la distance entre le centre de l'aiguille et la jointure de deux planches la plus proche, et  l'angle de l'aiguille avec la jointure. Il est alors facile de vérifier que l'aiguille intersecte une jointure si et seulement si  Si on suppose, ce qui paraît raisonnable, que les jets sont faits de sorte que les lois de r et sont uniformes sur respectivement  et  , la probabilité de tomber sur une rainure du parquet est donc de  En français
Une variante de ce poème (sur le début) Que j'aime à faire apprendre un nombre utile aux sages ! Glorieux Archimède, artiste, ingénieur, Toi de qui Syracuse aime encore la gloire, Soit ton nom conservé par de savants grimoires ! Le reste est identique au précédent Un autre plus court Car j'aime à faire apprécier ce nombre, objet des soins patients, longtemps répétés, engendrés par ce dur problème grec : "carrer" le cercle. Même son nom habituel est un symbole (périmètre) utile. Vie et œuvre d’Évariste Galois Les géométriesGéométries1. Conduire une droite d'un point quelconque à un point quelconque. 2. Prolonger indéfiniment, selon sa direction, une droite finie. 3. D'un point quelconque et avec un intervalle quelconque, décrire une circonférence d'un cercle. 4. Tous les angles droits sont égaux entre eux. 5. Si une droite, tombant sur deux droites, fait les angles intérieurs du même côté plus petits que deux droits, ces droites, prolongées à l'infini, se rencontreront du côté où les angles sont plus petits que deux droits. 6. Deux droites ne renferment point un espace.
  Fractales où la fractale de départ est formée de n exemplaires dont la taille a été réduite d'un facteur h (pour homothétie) et ln représente le logarithme néperien. Par exemple, un côté du flocon de Koch est formé de n = 4 exemplaires de lui-même réduit d'un facteur h = 3. Sa dimension fractale vaut  Le triangle de Sierpinski est formé de n = 3 exemplaires de lui-même réduit d'un facteur h = 2 . Sa dimension fractale vaut  Le tapis de Sierpinski est formé de n = 8 exemplaires de lui-même réduit d'un facteur h = 3. Sa dimension fractale vaut  La poussière de Cantor  Le flocon de neige           ChaosChaosLe modèle exponentiel de croissance des populations suppose que chaque génération est proportionnelle à la précédente. D'une période à la suivante, l'évolution de la population se traduit par la relation de type exponentiel :  où xt représente la population à la période t, xt+1 la population à la période t+1 et k le taux de reproduction. L'effectif de la population de la période t+1 sera la valeur xt+1, exprimée en pourcentage de la population maximale que peut accueillir le territoire donné, et sera obtenu de l'effectif de la population xt de la période précédente t par l'équation :  Le facteur  représente l'effet rétroactif.  DocumentationDelahaye La Recherche Pour la Science Internet ….. |
similaire:
 | «Vide». La matière est donc discrète. Par ailleurs, pour les atomistes, les atomes sont en nombre infini et l’Univers est donc infini... | | |
 | «Ud»= existe des instruments non frété pour ne pas ajuster la hauteur des notes et d’autres avec frète pour arrêter les notes | | |
| «pauvre» (statut vertueux aux yeux de l’Église, d’ailleurs). Une politique pour les pauvres consiste donc à l’époque à faire en sorte... | | «professionnel». À ce titre comme à d'autres, ce cycle proposera de penser la musique avec d'autres disciplines (mathématiques, poésie,... |
| «professionnel». À ce titre comme à d'autres, ce cycle proposera de penser la musique avec d'autres disciplines (mathématiques, poésie,... | | «A nous le monde». D’autres livres d’histoire et de géographie (1livre pour 2 élèves) |
| «A nous le monde». D’autres livres d’histoire et de géographie (1livre pour 2 élèves) | |