Equations différentielles








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Equations différentielles

Une équation différentielle est une équation dont l’inconnue est une fonction et dans laquelle apparaissent une ou plusieurs dérivées successives et éventuellement la fonction elle-même.
Résoudre une telle équation signifie déterminer toutes les fonctions qui satisfont à l’égalité.
Pour plus de clarté concernant les attentes et exigences du niveau, les exemples du cours seront extraits des épreuves de BTS sur la feuille annexe du cours.

I.Équations différentielles d’ordre 1



Soient a, b et c trois fonctions définies sur un intervalle I de ℝ et y la fonction inconnue, définie et dérivable sur l’intervalle I.
On suppose de plus que la fonction a ne s’annule pas sur l’intervalle I.
On appelle équation différentielle linéaire du premier ordre toute équation du type :
(E) : a(x)y’(x) + b(x)y(x) = c(x)
Dans l’annexe 1, on repère que sur cet exemple :
a(x) = 1 b(x) = -2 c(x) = xex

A.Solution générale de l’équation sans second membre



On appelle équation différentielle sans second membre les équations où c(x) = 0.
(E0) : a(x)y’(x) + b(x)y(x) = 0

Rem : on parle d’équation sans second membre ou équation homogène associée à (E).
a étant une fonction ne s’annulant pas, on peut encore écrire :
(E0) : y′(x) + y(x) = 0
Dans ce cas, l’ensemble des fonctions y correspondant aux solutions de (E0) est :
y(x) = k×eG(x)
avec :

- k qui est une constante réelle,

- G qui est une primitive de la fonction
Exemple : donner la solution de la 1ère question de l’annexe 1.

B.Solution générale de l’équation avec second membre



Lorsque c(x) est un réel différent de 0 les solutions de l’équation différentielle sont les fonctions de la forme :

y(x) = k×eG(x) +

Exemple : Résoudre l’équation différentielle suivante : 2y’ + y = 7

C.Solution particulière de l’équation différentielle (E)



On appelle solution particulière de l’équation différentielle toute fonction y vérifiant cette équation.

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Dans les sujets de BTS, toutes les indications permettant d’obtenir une solution particulière sont données.
Très souvent, une fonction est proposée et il suffit de vérifier que c’est une solution particulière de (E), c’est-à-dire de remplacer les "y" par la fonction proposée dans l’équation homogène (sans second membre), et de vérifier que l’on obtient bien le second membre.

Exemple : répondez à la question 2 de l’annexe 1.

D.Ensemble des solutions d’une équation différentielle



Les solutions d’une équation différentielle sont de la forme :
y(x) = y0(x) + yp(x)
avec :

- y0 qui est la solution de l’équation sans second membre (E0)

- yp une solution particulière de l’équation complète (E).

Exemple : répondez à la question 3 de l’annexe 1.

E.Solution unique sous condition initiale



Une équation différentielle linéaire du premier ordre (E) possède une unique solution vérifiant une condition initiale du type y(A) = B.
Pour faire simple, il faut trouver la valeur de la constante k.

Exemple : répondez à la question 4 de l’annexe 1.

II.Equations différentielles d’ordre 2 à coefficients constants



Soient a ≠ 0, b et c trois constantes réelles, d une fonction dérivable sur I et y la fonction inconnue, définie et deux fois dérivable sur I.
On appelle équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants toute équation du type

(E) : ay′′(x) + by(x) + cy(x) = d(x)
Les exemples de ce type de résolution seront appuyés sur l’annexe 2.
Dans l’annexe 2, on repère que sur cet exemple :
a= 1 b= -2 c= xex d(x)= 4x2ex

A.Solution générale de l’équation sans second membre



On considère l’équation différentielle sans second membre :

(E0) : ay′′ + by′ + cy = 0
d’équation caractéristique associée :

ar2 + br + c = 0
Autrement dit, on attribue à l’inconnue r la puissance correspond à l’ordre de la fonction de départ y.
Le tableau ci-dessous donne les solutions de (E0) en fonction du discriminant Δ = b2 −4ac :
Dans tous les cas, a et b sont des constantes réelles quelconque.

Avec A et B qui sont des constantes réelles !
Exemples :


  • Résoudre la question 1 de l’annexe 2.




  • y′′ + 25y = 0




  • 2y′′ − 5y′ − 3y = 0



B.Solution particulière de l’équation différentielle (E)



On appelle solution particulière de l’équation différentielle ay′′(x) + by(x) + cy(x) = d(x) toute fonction

y vérifiant cette équation.

c:\documents and settings\tessa louis-sidney\local settings\temporary internet files\content.ie5\gosc6xb2\mc900346317[1].wmf


Dans les sujets de BTS, toutes les indications permettant d’obtenir une solution particulière sont données.
Très souvent, une fonction est proposée et il suffit de vérifier que c’est une solution particulière de (E), c’est-à-dire de remplacer les "y" par la fonction proposée dans l’équation homogène (sans second membre), et de vérifier que l’on obtient bien le second membre.

Exemple : répondez à la question 2 de l’annexe 2.

C.Ensemble des solutions d’une équation différentielle



Comme pour les équations d’ordre 1, les solutions d’une équation différentielle sont de la forme :
y(x) = y0(x) + yp(x)
avec :

- y0 qui est la solution de l’équation sans second membre (E0)

- yp une solution particulière de l’équation complète (E).
Exemple : répondez à la question 3 de l’annexe 2.

D.Solution unique sous condition initiale



Une équation différentielle linéaire du second ordre (E) possède une unique solution vérifiant deux conditions initiales.
Pour faire simple, il faut trouver les valeur des constantes A et B. Etant donné qu’il y a 2 inconnues, il faut donc 2 conditions initiales pour pouvoir résoudre le système.
Exemple : répondez à la question 4 de l’annexe 2.
Toutes les solutions des équations différentielles sont regroupées dans le formulaire de mathématiques fourni lors de l’examen du BTS.c:\documents and settings\tessa louis-sidney\local settings\temporary internet files\content.ie5\gosc6xb2\mc900346317[1].wmf

Extrait du formulaire :


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