INTERÊTS COMPOSES
          CHAPITRE II : Les intérêts composés
I – Notion
Lorsqu’on a un capital à placer dans une institution financière deux possibilités peuvent s’offrir :
Soit le capital est retiré augmenté des intérêts calculés une seule fois à la fin de la dernière période (intérêts simples) ;
Soit le capital est retiré augmenté des intérêts calculés de façon successive à la fin de chaque période.
Les intérêts calculés à la fin de chaque période dans ce 2eme cas sont incorporés au capital de début de période pour être replacé pour le compte de la période suivante. Ainsi les valeurs acquises obtenues à la fin de chaque période sont aussitôt replacé pour générer des intérêts pour le compte de la période suivante. Les intérêts contenus dans ces valeurs acquises génèrent à leur tour d’autres intérêts : on parle de Capitalisation des Intérêts.
II – Généralisation de la notion : formule fondamentale
Soit un capital C placé au taux i (taux pour un franc : i = t /100) pendant une période on a :
Période
|
Capital Début Période
|
Intérêts
|
Capital Fin Période
|
1
2
3
k
n
|
C
C (1+i)
C (1+i) 2
C (1+i) k-1
C (1+i)n-1
|
Ci
C (1+i) i
C (1+i) 2 i
C (1+i) k-1 i
C (1+i)n-1 i
|
C+Ci = C (1+i)
C (1+i) + C (1+i) i = C(1+i) 2
C (1+i) 2 + C (1+i) 2 i = C(1+i) 3
C (1+i) k-1 + C (1+i) k-1 i = C (1+i) k
C (1+i)n-1 + C (1+i)n-1 I = C (1+i)n
|
La formule fondamentale en intérêt composé de la valeur acquise est : Cn =C (1+i)n
Remarque : Cn est la valeur acquise par le capital C placé au taux i pendant n périodes.
L’expression (1+i) n se lit dans la table financière n°1
Contrairement aux intérêts simples la formule fondamentale en intérêt composé débouche sur la valeur acquise. Pour trouver donc l’intérêt il faut faire la différence entre la valeur acquise et le capital placé. Soit I l’intérêt
I = Cn – C soit I = C (1+i) n – C Donc on a I = C [ (1+i) – 1 ]
L’intérêt au cour d’une période p quelconque est Ip = C (1+i) p-1 i
Les valeurs acquises obtenues à la fin de caque période de même que les intérêts contenus dans ces valeurs acquises sont en progression géométrique de raison 1+i
Exercices corrigés
Exercie1 : Quelle est la valeur acquise par un capital de 2 000 000 placé à un intérêt composé au taux de 5% pendant 3 ans. ?
Corrigé1 : D’après la formule on a Cn = C (1+i) n si C = 2 000 000 ; i = 5/ 100 et n = 3 alors Cn = 2 000 000 (1,05) 3 soit Cn =2 315 250
Exercice 2 : Quel capital doit –on placé au taux de 6% pour disposer de 796 924 à la fin de la 8eme année ?
Corrigé 2 : Le montant dont – il dispose à la fin de la 8eme année représente la valeur acquise. Si on doit appliquer la formule on Cn = C (1+i) n avec Cn =796 924
I= 6 / 100 et n= 8. Alors on a C = Cn / (1+i) n soit C = 796 924 / (1,06)8 ou C= 796 924 (1,06) - 8 soit C = 500 000
Exercice 3 : A quel taux doit –on placé un capital de 800 000 pour obtenir à la fin de la 5eme une valeur acquise de 1 148 503,461 ?
Corrigé 3 : posons Cn = C (1+i) n alors on a (1+i) n = Cn / C soit (1+i) n = 1,435629
Donc on a i =  - 1 soit i = 0,075 soit t = 7,5%
Exercice 4 : Pendant combien de temps un capital donné placé au taux de 8% peut-il s’accroitre de 25% de sa valeur.
Corrigé 4 : si le capital doit s’accroitre de sa valeur de 25% on aura C(1,25)
Or Cn = C(1,08) n si on doit poser une égalité entre les deux relations on aura
C(1,08) n = C(1,25) soit (1,08) n = 1,25. En appliquant la fonction log on a
n log (1,08) = log (1,25) soit n = log (1,25) / log (1,08) soit n =2ans 10 mois 24 jrs
Remarque: Le capital de 500 000 obtenu dans le deuxième exercice n’est rien d’autre que la valeur actuelle de 796 924. Pour obtenir la valeur actuelle il suffit d’actualiser la valeur acquise. Cette consiste à repousser la valeur acquise à l’origine. Ceci nous pousse à déduire la valeur actuelle d’un capital placé à un taux i qui nommé C0 = C (1+i)-n. Cette formule représente la formule générale de la valeur actuelle en intérêt composé. L’expression (1+i) –n se lit dans la table financière N°2
Exercice :
Une personne désire disposer une somme de 540 242,75 à la fin dans 15 ans. Pour ce faire il place un capital C à un taux semestriel de 5%. La capitalisation des intérêts étant semestrielle :
Déterminer le capital C placé
Le capital trouvé est placé à un taux semestriel de 5% pendant 15 ans. La capitalisation des intérêts étant semestrielle
Déterminer la valeur acquise. Que remarquez-vous ?
Déterminer les intérêts produit au cour de la 8eme et 12 eme périodes.
Déterminer l’intérêt global de ce placement.
Exercice corrigé sur la valeur actuelle et calcul d’intérêt
Corrigé :
Déterminons le capital C placé
C représente dans ce cas la valeur actuelle et équivaut à C0. Si on doit appliquer la formule de la valeur actuelle on a C0 = C (1+i)-n dans ce cas le C de la formule est égal à 540 242,75 le taux t = 5%. La capitalisation étant semestrielle on n = 15 x 2 soit n = 30 semestres. Ceci dit C0 = 540 242,75 (1,05) - 30 soit C0 = 125 000 le capital placé est égal à 125 000
Déterminons la valeur acquise
Soit Cn cette valeur acquise. On a Cn = 125 000(1,05) 30 soit Cn = 540 242,75. Nous remarquons que Cn est égal à la somme dont voulait disposer la personne dans 15 ans.
Déterminons l’intérêt produit au cour :
Soit I8 cet intérêt. I8 = C (1+i) 8-1 i soit I8 = 125 000(1,05)7 x 0,05 soit
I8 = 8794,375 ou soit I8 = C8 – C7 soit I8 = 125000[(1,05)8 – (1,05)7] soit
I8 = 8794,375.
Soit I12 cet intérêt. I12 = C (1+i) 12-1 i soit I8 = 125 000(1,05)11 x 0,05 soit
I12 =10689,61875 ou soit I12 = C12 – C11 soit I8=125000[(1,05)12 – (1,05)11]
Soit I12 =10689,61875.
Déterminons l’intérêt global de ce placement
I = Cn – C soit I = 540 242, 75 – 125000 soit I = 415242,75
I = Cn – C soit I = C (1+i) 30 – C soit I = C [(1+i) 30 – 1] Donc on a
I = 125000[(1, 05) 30 – 1] soit I = 415242,75
III – Formule de la valeur acquise à intérêts composé quand le temps de placement est un nombre non entier de périodes
Il existe trois méthodes de résolution pour le calcul de la valeur acquise.
Méthode logique ou rationnel
C k+p/q = Ck + Ck i p/q soit C k+p/q = Ck (1+ i p/q) soit C k+p/q = C(1+i)k(1+ i p/q)
K est la partie entière du temps de placement. P est la partie non entière et Q = 12. Ck représente la valeur acquise de la partie entière.
Méthode commerciale ou pratique
C k+p/q = C(1+i)k+p/q
Méthode par interpolation
C k+p/q = C (1+i) k + p/q (Ck+1 - Ck)
Application
Exercice : Un capital de 250 000 est placé à intérêts composé pendant 7 ans 3 mois.
Calculer la valeur acquise par ce capital à l’expiration de la durée prévue sachant que le taux de placement est de 11% (capitalisation annuelle des intérêts).
Corrigé :
Déterminons la valeur acquise
Méthode logique ou rationnelle
C k+p/q = C (1+i) k (1+ i p/q) soit C7+3/12 = 250000(1, 11)7(1+0, 11 x (3/12)) soit C7+3/12 = 533 313,6
Méthode commerciale ou pratique
C k+p/q = C(1+i)k+p/q soit C7+3/12 = 250000(1,11) 7+3/12 soit C7+3/12 = 532 759,9934
Méthode par interpolation
C k+p/q = C (1+i) k + p/q (Ck+1 - Ck) soit C7+3/12 = 250000(1, 11)7 + 3/12[250000(1, 11)8 - 250000(1, 11)7]
C7+3/12 = 533 313, 6393
IV – Taux proportionnel - Taux équivalent
Taux proportionnel : Deux taux correspondants à des périodes de capitalisations différentes sont proportionnels lorsque leur rapport est égal au rapport de leur période capitalisation respective. Si ia est un taux annuel, is est un taux semestriel proportionnel au taux annuel, it est un taux trimestriel proportionnel au taux annuel, im est un taux mensuel proportionnel au taux annuel, iba est un taux bisannuel proportionnel au taux annuel alors on a : is = ia / 2 it = ia / 4 im = ia / 12 iba = 2 ia
Remarque : En intérêts simples les taux proportionnels conduisent le capital pendant la même durée de capitalisation à une même valeur acquise. Par contre en intérêts composés les valeurs acquises sont différentes.
Application
Exercice : calculer
Le taux semestriel proportionnel au taux annuel de 8 %
Le taux mensuel proportionnel au taux semestriel de 6%
Le taux trimestriel proportionnel au taux annuel de 12%
Le taux bimensuel proportionnel au taux semestriel de 9%
Le taux bisannuel proportionnel au taux annuel de 3 %
Corrigé : Calculons
Le taux semestriel proportionnel au taux annuel de 8 %
is = ia / 2 soit is = 8/2 soit is = 4 %
Le taux mensuel proportionnel au taux semestriel de 6%
Dans un semestre on a 6 mois donc pour déterminer le taux mensuel il faut faire im = 6/6 soit im= 1%
Le taux trimestriel proportionnel au taux annuel de 12%
Dans un an on a quatre trimestres. Pour déterminer le taux trimestriel on fera it = 12/4 soit it = 3 %
Le taux bimensuel proportionnel au taux semestriel de 9%
Dans un semestre on a 6 mois ce qui fait qu’on a 12 bimensuel. Donc on a 1 mois = 2 * 15 jours.
ibm = 9 /12 soit ibm = 0,75 %
Le taux bisannuel proportionnel au taux annuel de 3 %
Dans un bisannuel on a 2 fois un an
iba = 3 * 2 soit iba = 6 %
Taux équivalent : Deux taux correspondants à des périodes de capitalisations différentes son équivalents si et seulement si pour un même capital et pour une même durée, ils conduisent à une même valeur acquise. Un capital C placé au taux annuel ia pendant 1 an a pour valeur acquise C (1+ ia) 1. Pour réussir à déterminer le taux équivalent, on identifie rapidement la plus grande période et la plus petite période. On recherche combien de fois on a la plus petite période dans la grande période.
Exemple :
ia = le taux annuel ; is = le taux semestriel ; it = le taux trimestriel ; im =le taux mensuel ; ib = le taux bisannuel
is équivalent à ia soit (1+ia)1 = (1+is)2 soit is =  - 1
La plus grande période ici est l’année et la plus petite période est le semestre ce qui signifie que 1 année = 2 semestre ce qui justifie les exposants.
it équivalent à ia soit (1+ia)1 = (1+it)4 soit it = - 1
ia équivalent à ib soit (1+ib)1 = (1+ia)2 soit ia = - 1
Remarque : Le taux équivalent est utilisé en intérêts composé alors que le taux
proportionnel est utilisé en intérêt simple.
Exercice : Calculer
Le taux semestriel équivalent au taux annuel de 10%
Le taux trimestriel équivalent au taux annuel de 8%
Le taux mensuel équivalent au taux annuel de 9%
Le taux annuel équivalent au taux bisannuel de 10,25%
Corrigé : Calculons
Le taux semestriel équivalent au taux annuel de 10%
(1+ia) = (1+is)2 soit 1,1=(1+is)2 soit is=  - 1 soit is = 0,0488 soit
ts= 4,88%
Le taux trimestriel équivalent au taux annuel de 8%
(1+ia) = (1+it)4 soit 1,08 = (1+it)4 soit it =  - 1 soit tt = 1,942655%
Le taux mensuel équivalent au taux annuel de 9%
(1+ia) = (1+im)12 soit 1,09 = (1+im)12 soit im =  -1 soit tm = 0,720732%
Le taux annuel équivalent au taux bisannuel de 10,25%
(1+ib) = (1+ia)2 soit 1,1025 = (1+ia)2 soit ia =  - 1 soit ia = 0,05 soit ta= 5%
Application
V – Escompte et équivalence à intérêts composés
Escompte à intérêts composés
Calcul de la valeur actuel d’un capital ou d’un effet
Définition : la valeur actuelle au taux i par francs par périodes d’un effet de valeur nominal C payable dans n périodes est la somme C0 telle que, capitalisée pendant n période au taux i, elle reproduise la valeur nominale.
Formulation : Posons C = C0 (1+i) n ce qui conduit à C0 = C (1+i) –n telle est la formule de la valeur actuelle d’un capital ou d’un effet. L’expression (1+i) –n se lit dans la table financière n°2
Calcul de l’escompte à intérêts composés
Dans la pratique, on emploi l’escompte commercial quand il s’agit de négocier des effets dont l’échéance est rapprochée. Mais pour les effets à une échéance lointaine, il est plus logique d’employer l’escompte à intérêts composés (e) qui est la différence entre la valeur nominale d’un effet et la valeur actuelle de l’effet c’est-à-dire :
e = C – C0 soit e = C – C (1+i) -n soit e = C [1- (1+i) –n]
Application : Quel l’escompte à intérêts composés d’un capital de 200 000 F payable dans 5 an 6 mois ? Taux annuel 8%
Résultat :
1er méthode : e = C [1- (1+i) –n] soit e = 200 000[1- (1,08) – (5+6/12) ] soit e = 69021,7 F
2nd méthode : e = C – C0 soit e = 200 000 – 200 000 (1,08) -5,5 soit e = 69021,7 F
Equivalence à intérêts composés
Equivalence entre deux capitaux ou deux effets
Définition: Deux capitaux ou effet de valeurs nominales différentes (V1, V2) et d’échéances différentes (n1, n2) escomptés à intérêts composés au même taux sont dits équivalents lorsqu’ils ont à la date de l’escompte, des valeurs actuelles égales entre elles.
Equation d’équivalence : valeur actuelle du 1er effet = valeur actuelle du 2nd effet
V1 (1+i) –n1 = V2 (1+i) –n
Problèmes pratiques posés sur la notion d’équivalence
Recherche de la valeur nominale de l’effet remplaçant
Application : Quelle est la valeur nominale d’un effet payable dans 15 ans susceptible de remplacer équitablement à 4% de capitalisation annuelle, un effet de 2000 payable dans 7 ans ?
Résultat : on donne V1 = 2000, n1 = 7 ans, V2 = nominal de l’effet à remplacer, n2 = 15 ans
On a l’expression V1 (1+i) –n1 = V2 (1+i) –n2 soit V2 =
Soit V2 = V1 (1+i) –n1 (1+i) n2 soit V2 = V1 (1+i) –n1+n2 d’ou
V2 = 2000 (1, 04)-7+15 soit V2 = 2737 , 138101
(1+i) –n2
V1 (1+i) –n1
Application : Quelle est l’échéance de l’effet de 1462 F créé en remplacement d’un effet de 1000 payable dans 5 ans au taux de capitalisation annuelle de 6%
Résultat : on donne V1 = 1000 n1 = 5 ans ; V2 = 1462, n2 = durée de l’effet à remplacer
On a l’expression V1 (1+i) –n1 = V2 (1+i) –n2 soit (1+i) -n2 = soit (1+i) -n2 = 1000(1, 06)-5 / 1462 soit (1+i) -n2 = 0,511121 soit –n2 log(1,06) = log(0,511121) d’où n2 = log(0,511121) / -log(1,06) donc n2 = 11,518148 soit n2 = 11 ans 6 mois 7 jours
Recherche de l’échéance de l’effet remplaçant
V2
V1 (1+i)-n1
Application : les effets suivants : 2411,70 payable dans 20 ans et 1422,10 payable dans 8 ans sont équivalents. A quel taux l’équivalence a-t-elle été calculée ?
Résultat : On donne V1 = 2411,70 n1 = 20 ans ; V2 = 1422,10 n2 = 8 ans
On a l’expression V1 (1+i) –n1 = V2 (1+i) –n2 soit = = (1+i) n1-n2
Soit 1,695872 = (1+i) 12 soit i =  - 1
i = 0, 045 soit t = 4, 5%
Recherche du taux d’équivalence
V1
(1+i) –n2
V2
(1+i) –n1
Equivalence entre plusieurs capitaux et plusieurs autres
Les effets V1, V2, V3,… échéant respectivement dans n1, n2, n3,… période sont équivalents aux effets U1, U2, U3,… échéant respectivement dans p1, p2, p3,…. Périodes si la somme des valeurs actuelles des effets V est égale à la somme des valeurs actuelle des effets U.
Si i est le taux pour un francs par période, l’équation d’équivalence dérivée de la définition pourra s’écrire :
Application : Un débiteur désire remplacer les deux dettes suivantes : 4000 F payables dans 4 ans et 7000 F payables dans 6 ans par deux versements d’égale valeur nominale à régler dans 2 et 4 ans. Quel doit être le montant des ces versements si le taux est de 5% l’an ?
Résultat :
Soit le graphique suivant :
4000 7000
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
V V
A l’équivalence (date 0) on a :
4000(1,05)-4 + 7000(1,05)-6 = V(1,05)-2 + V(1,05)-4 soit 8514,317979 = 1,729732 V Soit V = 8514,317979 / 1,729732 soit V = 4922,333446
Remplacement d’un effet par plusieurs autres effets
Pour remplacer un effet par plusieurs autres, il suffit de poser que la valeur actuelle de l’effet unique à remplacer est égale à la somme des valeurs actuelles des effets remplaçant, c’est-à-dire :
V (1+i)-n = 
V est le nominal de l’effet unique remplacé, n est le nombre de périodes entre la date d’équivalence et l’échéance de l’effet.
Application 1 : Mr Dubois désire remplacer un effet unique de nominal 200 000 payable dans 8 ans par trois de même valeur nominale à régler dans 2 4 et 6 ans. Quel doit être le montant commun à ces trois effets si le taux annuel est de 6% l’an ?
Résultat : Soit le graphique suivant
V V V 200 000
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
A l’équivalence (date 0) on a :
200000 (1,06) -8 = V (1,06) -2 + V (1,06) -4 + V (1,06) -6 soit 125482,4743 = 2,387051 V Soit V = 125482,4743 / 2,387051 soit V =52 568
Application 2 : Un débiteur qui doit s’acquitter des dettes suivantes : 25 000, 20 000 et 40 000 payables respectivement dans 1an, 1an 6mois et 2an 6mois obtient de son créancier de se libérer par un paiement unique dans 5ans.
Calculer la valeur nominale de ce paiement unique au taux de 6% l’an
Déterminer l’échéance pour un paiement unique de 150 000 F
Résultat 2 :
Calculons la valeur nominale de ce paiement unique. Soit ce paiement unique
25 000(1,06) -1 + 20 000(1,06) -1,5 + 40 000(1,06) -2,5 = V(1,06)-5 soit 76488,69240=0,747258V soit V=76488,69240 / 0,747258V soit V= 102 359,1246
Déterminons l’échéance unique pour un paiement de 150 000
25 000(1,06) -1 + 20 000(1,06) -1,5 + 40 000(1,06) -2,5=150 000(1,06)-n soit 76488,69240 = 150 000(1,06)-n soit (1,06)-n = 76488,69240 / 150 000 soit (1,06)-n = 0,509925 -n log(1,06)= log(0,509925) n=11,558349 soit n = 11 ans 6 mois 21 jours . L’échéance obtenue sera appelée échéance commune car 150 000 est différente de la somme de (25 000+20 000+40 000)
Dans le cas particulier où la valeur nominale de l’effet unique remplaçant est égale à la somme des valeurs nominales des effets remplacés, la date d’échéance du paiement unique est dite Echéance moyenne.
A l’équivalence, on a : Valeur actuelle de l’effet remplaçant = somme des valeurs actuelles des effets remplacés c’est-à-dire :
V (1+i)-n =
Application : Un débiteur retrouve dans son portefeuille les dettes suivantes 1 600 000 impayé depuis 15 mois ; 2 400 000 payables dans 42 mois ; 2 700 000 payables dans 4 ans et 1 300 000 payable dans 30 mois.
Le débiteur négocie et obtient de son créancier de rembourser ces dettes par deux versements bisannuels égaux, le premier dans 1 an. Quel est au taux de 8% la valeur commune des versements bisannuels ?
En réalité ces dettes devraient être remboursées par un versement unique dans trois ans. Quelle est dans les mêmes conditions de taux la valeur du versement unique.
Déterminer l’échéance moyenne des quatre dettes.
Résultat :
Calculons la valeur commune des versements bisannuels. Soit V cette valeur
1 600 000(1,08) (1+3/12) + 2 400 000(1,08) – (3+6/12) + 2 700 000(1,08) –4 + 1 300 000(1,08) – (2+6/12) = V(1,08) -1 + V(1,08) -3 soit 6651893,772 = 1,719758 V Soit V = 6651893,772/1,719758 soit V = 3 867 923,932
Déterminons la valeur du versement unique. soit V1 cette valeur
1 600 000(1,08) (1+3/12) + 2 400 000(1,08) – (3+6/12) + 2 700 000(1,08) –4 + 1 300 000(1,08) – (2+6/12) = V1(1,08) -3 soit 6651893,772 = 0,793 832 V1 soit V1= 6651893,772 / 0,793 832 soit V1= 8 379 470,407
Déterminons l’échéance moyenne
(1 600 000 + 2 400 000 + 2 700 000 + 1 300 000)(1,08)-m = 6651893,772 soit (1,08)-m = 6651893,772 / 8 000 000 Soit (1,08)-m = 0,831487 soit –m log (1,08) = log (0,831487) soit m = - [log (0,831487) / log (1,08)] soit m=2,397836 soit m= 2 ans 4 mois 23 jours
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