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Comment prouver une vérité ?
Notions abordées dans ce cours : la raison et le réel, la vérité, la démonstration, l'interprétation (ES)
Avertissement : Avant toute chose, lisez attentivement ce qui suit, afin d'éviter de confondre :

- vérité et sincérité. Je peux être sincère et dire quelque chose de faux : l'erreur est humaine. Le contraire de « vérité » n'est donc pas « mensonge » (discours volontairement trompeur) mais « fausseté », mot qui renvoie aussi bien à la fiction, à l'ironie ou à l'erreur qu'au mensonge.

- vérité et opinion. Une opinion (ou croyance) peut très bien être fausse. Il faut donc éviter de dire des formules comme « Personne n'est d'accord sur ce sujet : à chacun sa vérité », ou « Avant tout le monde pensait que la terre était plate. Mais cette vérité est devenue fausse ». Plutôt que le mot « vérité », il faudrait employer les mots « opinion », « croyance », « points de vue »....

- vérité et réalité. Un énoncé faux peut être tout à fait réel. En revanche, il ne correspond pas à la réalité. Les livres de Tolkien ou Voltaire existent, ils sont réels. Mais les dragons, les elfes, Cunégonde ou le philosophe Pangloss sont purement imaginaires.

- preuve et explication. On explique un phénomène observé (une éclipse, par exemple) et on prouve une théorie au sujet de ce phénomène. Expliquer = rendre plus compréhensible. Prouver = rendre certain.
Introduction

[Intérêt du sujet] Personne ne peut se dire indifférent à la vérité. Même si on était dépourvu de toute curiosité, on aurait besoin de savoir un minimum distinguer le vrai de faux pour pouvoir agir efficacement. Si notre esprit est plein d'idées fausses, il y a de grandes chances pour que notre action aboutisse au contraire du but recherché. L'aveuglement conduit aux pires catastrophes. Voilà pourquoi nous cherchons à connaître, sinon LA vérité en général, du moins DES vérités, c'est-à-dire des pensées ou des énoncés vrais. Seulement, comment distinguer un énoncé vrai d'un énoncé faux ? Souvent, quand quelqu'un dit « j'ai raison », il prétend savoir la vérité alors qu'il n'a qu'une opinion, un avis qui peut aussi bien être vrai que faux. On aimerait que cette personne apporte une preuve ce qu'elle avance. Mais comment prouver une vérité ?

[1ère réponse argumentée à l'aide des définitions.] Pour répondre à cette question, analysons les notions en jeu. La vérité, de manière très générale, peut se définir comme un accord entre la pensée et son objet (ce à quoi l'on pense). La vérité est donc par définition objective : si une pensée est vraie, ce n'est pas parce que j'ai le sentiment subjectif qu'elle l'est, ou parce que je désire qu'elle le soit. Elle reste vraie même si elle me déplaît ou si elle contredit mes sentiments. À partir de cette définition générale, on peut en donner deux autres. Si l'objet de la pensée est réel, la vérité est une adéquation entre la pensée et la réalité. Une pensée (ou une parole) est vraie si elle correspond aux faits, si elle ne confond pas le réel et l'imaginaire. S'il s'agit d'un objet abstrait, la vérité peut se définir comme un accord de la pensée avec elle-même. Elle est alors synonyme de cohérence logique. Quant à la preuve, c'est ce qui fonde une vérité, ce qui lui donne un caractère certain, indubitable. D'après ces définitions, on pourrait penser qu'il existe un moyen bien simple de prouver une vérité : c'est de faire appel à notre raison. La raison est en effet ce qui nous permet de penser logiquement, de façon cohérente. Grâce à elle, nous sommes même en mesure de faire de fonder certaines vérités sur des raisonnements rigoureux : les démonstrations.

[Objection et annonce de la 2de partie] Mais cette argumentation, que nous développerons dans un premier moment, est-elle absolument convaincante ? Les démonstrations, qui sont à l'œuvre dans les mathématiques, valent peut-être pour une certaine forme de vérité : la cohérence logique. Mais sont-elles capables d'établir des vérités concernant les faits ? Si on définit la vérité comme un accord entre la pensée et la réalité, alors on doit recourir à un autre type de preuves : les preuves empiriques. Comme nous le verrons dans un second temps, c'est grâce à l'expérience que nous vérifions s'il y a bien une correspondance entre notre pensée et la réalité pensée.

[Objection au 2d argument et annonce de la 3ème partie] Mais peut-on vraiment faire confiance à l'expérience ? Les preuves empiriques ne portent que sur des cas particuliers. Comment pourraient-elles prouver des vérités universelles ? De plus, l'expérience n'est-elle pas une certaine interprétation de la réalité, interprétation qui peut être faussée par nos désirs et nos préjugés ? Tout ceci nous amène à penser qu'il est impossible de prouver une vérité, du moins en ce qui concerne la réalité.

[Objection au 3ème argument et annonce de la 4ème partie] Mais ce point de vue sceptique, qui fera l'objet de notre troisième partie, vaut-il pour tout type d'expérience ? N'est-il pas possible, en associant la raison et l'expérience, de donner à celle-ci un caractère scientifique ? Et si c'est le cas, ne pourrait-on pas considérer l'expérimentation comme une forme authentique de preuve ? Voilà les questions qui feront l'objet de notre dernière partie.
* * * * *
I. C'est par notre raison que nous sommes en mesure de prouver une vérité

 

1. Définition de la raison

 Le mot « raison » peut désigner la faculté de bien raisonner, les arguments utilisés dans un raisonnement (« voici mes raisons »), la faculté de se comporter raisonnablement, la faculté de connaître la vérité (« avoir raison », « perdre la raison »). Voyons ce qui relie ces significations.

 La raison peut se définir, de façon générale, comme la faculté, présente chez tous les hommes, qui permet de penser de façon cohérente.

Elle est présente dans deux domaines complémentaires de la vie humaine : la connaissance et la pratique. La pratique, c’est l’activité par laquelle l’homme agit sur le monde qui l’entoure et se transforme lui-même. Dans le domaine pratique, la raison est ce qui nous permet d’agir raisonnablement, c’est-à-dire de manière cohérente, suivant des principes universels (susceptibles d’être acceptés par tout le monde). C’est grâce à notre raison, notamment, que nous pouvons distinguer le juste de l’injuste, et agir en tant que citoyens, dans le souci de l’intérêt général (cf. le cours sur le droit et la justice). Mais dans ce cours, nous allons surtout parler de la raison en tant que faculté de connaître.

 La connaissance, c’est l’activité par laquelle l’homme découvre la vérité sur le monde et sur lui-même. Dans ce domaine, la raison joue un rôle essentiel. C’est elle qui nous permet de penser rationnellement, de façon cohérente, logique. En ce sens, la raison est la faculté de raisonner de manière rigoureuse, selon des principes universels, susceptibles d’être admis par tout le monde. Or, quelqu’un qui sait bien raisonner a plus de chances d’éviter les erreurs. C’est pourquoi on a défini la raison comme la faculté de connaître la vérité, et en particulier de distinguer le vrai du faux.

 

Raison : faculté permettant de penser (et d’agir) de manière cohérente




dans le domaine de la connaissance dans la pratique

(cf. les cours sur la politique et sur la morale)



faculté de penser de manière rationnelle faculté d’agir de façon raisonnable




faculté de bien raisonner, en ordonnant

sa pensée d’après des principes universels




faculté de connaître la vérité et de distinguer le vrai du faux

2. La raison nous permet d’éviter des erreurs de logique

 Par définition, on l’a vu, la raison nous permet de penser de manière cohérente. Et c’est pour cela qu’elle est un moyen de connaître la vérité et de distinguer le vrai du faux. Beaucoup de nos erreurs, en effet, sont des erreurs de logique : notre pensée manque de cohérence, elle se contredit sans s’en rendre compte.

Ainsi, dans le Gorgias de Platon, Calliclès prétend qu’il est injuste que les plus forts soient dominés par les plus faibles dans la démocratie. Ce faisant, il se contredit implicitement, car si les « forts » se laissent dominer, c’est qu’ils sont devenus faibles. C’est pourquoi Socrate va amener Calliclès à reformuler sa théorie de manière à ce qu’elle devienne plus cohérente.

3. La raison nous permet de démontrer certaines vérités

 Nous avons vu précédemment que la raison nous aide à éviter des erreurs de logique. Mais elle est aussi un moyen de démontrer des vérités.

 a. Définition : Une démonstration est un raisonnement – un enchaînement d’idées – qui prouve rigoureusement la vérité d’un énoncé. Si la démonstration est bien faite, elle aboutit à une conclusion nécessairement vraie, donc indubitable (on ne peut en douter).

 Pour qu’une démonstration soit bien faite, il faut deux conditions :

* Elle doit être cohérente, suivre les règles de la logique. Parmi ces règles, signalons le principe de contradiction, principe qui interdit d’affirmer ensemble deux énoncés opposés l’un à l’autre.

Chaque nouvel énoncé est la suite logique de ce qui précède. Autrement dit, le raisonnement démonstratif est une déduction, c’est-à-dire un raisonnement dont la conclusion est nécessairement (forcément) vraie si son point de départ est vrai. 

** Les prémisses de la démonstration – c’est-à-dire les énoncés constituant le point de départ du raisonnement – doivent être vraies, et même certaines, indubitables.

 b. Exemples de démonstration

Les sciences mathématiques sont souvent citées comme étant des modèles de sciences démonstratives. Tout – sauf les énoncés admis au tout début des théories – doit être démontré en mathématiques. Prenons l’exemple de la résolution d’une équation du premier degré. Pour résoudre ce genre d’équation, on recourt à quelques principes très simples et universels (valables dans tous les cas, indépendamment des circonstances). Parmi ces principes, on trouve les deux suivants :

 

Si a = b, alors ac = bc (principe I) - Si a = b, alors a + c = b + c (principe II)

Ces deux principes valent universellement, pour n’importe quels nombres a, b ou c. Voyons comment on peut les appliquer pour résoudre une équation particulière.

 

Si 6x – 6 = 9, alors (6x –6) + 6 = 9 + 6 (d’après le principe II)

donc 6x = 15

donc 6x.1/6 = 15.1/6 (d’après le principe I)

et par conséquent x = 15/6 = 5/2

 

Autre exemple : la preuve de l’irrationalité de √2. Les disciples de Pythagore, au départ, pensaient que tous les rapports, dans l’univers, étaient « rationnels », c’est-à-dire qu’ils pouvaient se mettre sous la forme a/b, ou a et b sont deux entiers naturels. Pourtant, ils ont découvert un jour que le rapport de la diagonale au côté du carré échappait à cette règle. Voici une démonstration de l’irrationalité de ce rapport, inspirée de celle qui est relatée par le philosophe Aristote.

Soit un carré de côté 1 (1 m, 1 cm… peu importe). D’après le théorème de Pythagore, le carré de la diagonale est égal à la somme des carrés des côtés : 12 +12 = 2. Le rapport de la diagonale au côté du carré est donc √2/1= √2


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Puisque a/b = √2, a2/b2 = 2, ce qui implique que a2 = 2 b2.

Il en résulte que a2 est un nombre pair.

Mais alors, a est également pair, car le carré d’un nombre impair ne peut être pair.

Or, si a est pair, on peut le mettre sous la forme 2c, où c est un entier naturel. On peut donc écrire l’équation précédente de la manière suivante : (2c)2= 2 b2 ou encore 4c2 = 2 b2

Il suit de là que b2 = 2c2. Cela implique que b2 est pair. Mais si b2 est pair, b doit l’être aussi, pour la même raison que tout à l’heure : le carré d’un nombre impair ne peut être pair.
Ainsi, il apparaît que a et b sont tous les deux pairs, ce qui contredit l’une de nos hypothèses de départ. Admettre que √2 est un nombre rationnel implique par conséquent une contradiction. Cela revient à accepter l’existence d’une fraction a/b, où a et b sont tous les deux pairs, bien que l’un des deux soit en même temps impair. Une telle conclusion viole l’un des principes fondamentaux de la logique (et des mathématiques) : le principe de contradiction (qu’on appelle parfois principe de non-contradiction). Ce principe nie tout énoncé qui se contredit lui-même. Il interdit d’affirmer dans un même énoncé une chose et son contraire (« Ce nombre est à la fois pair et impair »).

La démonstration rapportée par Aristote est ce qu’on appelle une démonstration par l’absurde. Elle consiste à prouver la fausseté d’une hypothèse en en déduisant une conclusion contradictoire. Elle repose explicitement sur un principe universel fondamental : le principe de contradiction.
c. Une démonstration n’est pas une preuve empirique (= qui vient de l’expérience)

Le mot « preuve » est ambigu. Il peut désigner au moins deux choses :

-          une démonstration, un raisonnement rationnel.

-          une preuve empirique, c’est-à-dire une preuve basée sur l’expérience.

Les deux types de preuves sont bien différents. La démonstration est une certaine déduction : c’est un raisonnement rigoureux, qui tire une conclusion particulière d’un principe universel (comme « Si a = b, alors a + c = b +c  »).

Les preuves empiriques, elles, reposent souvent, sinon toujours, sur des inductions. L’induction, est d’une certaine manière l’inverse de la déduction. Elle consiste à tirer une conclusion générale (censée valoir presque toujours) des cas particuliers connus par expérience.

 Voici un exemple permettant de comprendre la différence entre déduction et induction. Bien avant les Grecs, les mathématiciens de Mésopotamie (région correspondant plus ou moins à l’actuel Irak) connaissaient une propriété fondamentale du triangle rectangle. Ils savaient que pour tout triangle ABC rectangle en A, BC 2 = AB 2 + AC 2.

Seulement, autant que nous le sachions, ils n’en avaient pas la démonstration. Ils connaissaient donc cette vérité par induction. Autrement dit, ils avaient mesuré un grand nombre de triangles rectangles particuliers et constaté que ces triangles vérifiaient tous la même propriété.

Or, le problème d’une telle preuve c’est qu’elle ne permet pas d’avoir une certitude concernant tous les cas possibles. Même si on a mesuré des millions de triangles rectangles, comment savoir si certains triangles rectangles n’ont pas des propriétés différentes des autres ? La question n’est pas absurde, puisqu’on peut construire une infinité de triangles rectangles possibles, par exemple en prolongeant autant qu’on veut le segment [AC].

Il semble que cette vérité concernant les triangles rectangles ait été démontrée pour la première fois par un Grec (peut-être Pythagore). Grâce à un raisonnement rigoureux, ce Grec a prouvé que tous les triangles rectangles, sans exception, vérifient la même propriété. Contrairement à une induction, cette déduction vaut pour l’infinité des triangles rectangles possibles, parce qu’elle repose sur des principes universels. La vérité, ici, n’a pas été trouvée par expérience, mais démontrée rationnellement. Et c’est pourquoi on parle du théorème de Pythagore : un théorème est en effet une vérité démontrée.
Transition (conclusion provisoire et ébauche d’objection) : Grâce à notre raison, nous sommes non seulement capables d’éviter des erreurs de logique, mais aussi de démontrer des vérités, et même des vérités universelles (contrairement à l’expérience, qui portent sur des cas particuliers). Ces vérités sont absolument certaines, si elles sont basées sur des principes évidents et universels et si elles sont le résultat d’une déduction, c’est-à-dire d’un enchaînement rigoureux d’énoncés, dont chacun est la conséquence logique des précédents.

Mais ces vérités démontrées concernent-elles la réalité ? Ne portent-elles pas sur des objets abstraits ? Si nous voulons atteindre une vérité concrète, qui concerne le monde réel, si nous ne nous satisfaisons pas d'une simple cohérence logique, ne devrions-nous pas faire appel à une autre source de connaissance que la raison ?
II. C’est par l’expérience qu’on peut prouver une vérité concernant la réalité
1. Développement de l’objection amorcée dans la transition

a. Les sciences démonstratives sont hypothético-déductives

Toute démonstration, on l'a vu repose sur des points de départ : les « prémisses » du raisonnement. Ces prémisses peuvent elles-mêmes être démontrées : ce sont alors des théorèmes. Mais il n'est pas possible de démontrer toutes les prémisses, car il faudrait pour cela procéder à une infinité de démonstrations. Les premiers principes d'une science démonstrative sont donc non démontrés : ce sont les « axiomes ». Dans l'Antiquité grecque, et jusqu'à une époque récente, ces principes ont été généralement considérés comme évidents. Voici par exemple deux axiomes d'Euclide qui ne paraissent pas nécessiter de démonstration tellement ils semblent évidents :

« Des choses qui sont égales à une même chose sont égales entre elles. » (Si a = b et b = c, alors a = c)

« Si des choses égales sont ajoutées à d'autres choses égales, leurs sommes sont égales »

(Si a = b, alors a+c = b+c).

Cependant, on peut se demander si les axiomes (énoncés non démontrés qui servent de points de départ aux démonstrations) sont nécessairement vrais. Ce n’est pas parce qu’un principe a l’air « évident » qu’il est réellement indubitable. Ce qu’on appelle « intuitions rationnelles » ne sont peut-être que des impressions trompeuses. C’est pourquoi les scientifiques on finit par renoncer à l’idée que les démonstrations sont fondées sur des axiomes évidents.

Les axiomes ne sont plus considérés de nos jours comme des vérités évidentes. Ce sont plutôt des hypothèses, à partir desquelles on peut faire des déductions logiques. C’est pourquoi les sciences démonstratives (comme la logique, les mathématiques, et dans une certaine mesure la physique) sont appelées « hypothético-déductives ». La vérité, dans les sciences démonstratives, est donc moins une adéquation entre la pensée et le réel qu’une cohérence des déductions. Au lieu de dire : « Les axiomes de départ sont évidents. Donc, on peut être certain des théorèmes qui en sont déduits », on formule la vérité de la manière suivante : « Si les axiomes sont vrais, alors les théorèmes sont nécessairement vrais ». Ce qui est vrai, ce sont les liens logiques entre les hypothèses de départ et les conclusions qu’on en déduit. La vérité est maintenant considérée comme hypothétique (on l’énonce sous la forme : « Si…. alors ».) Au lieu de dire : « Tout homme est mortel. Or, Socrate est un homme. Donc Socrate est mortel ». On dira : « Si tout homme est mortel et que Socrate est un homme, alors Socrate est mortel ».

Pour comprendre comment on en est arrivé à cette nouvelle conception des axiomes et de la démonstration, intéressons-nous à l’histoire de la géométrie.

 b. Les géométries non-euclidiennes

Euclide, mathématicien grec des IVème-IIIème siècles avant J.-C., a écrit un traité de géométrie qui est resté un modèle de rigueur démonstrative durant des siècles. Or, plusieurs démonstrations de ce traité reposent sur un principe – le cinquième postulat1 d’Euclide – qu’on peut formuler de la manière suivante : soit une droite D du plan, et un point M extérieur à cette droite ; par M passe une et une seule droite D’ parallèle à D.

D




D

M

 

Au cours des siècles, plusieurs mathématiciens ont tenté de démontré par l’absurde ce postulat, mais sans succès. Au XIXème siècle, des géomètres ont même prouvé qu’on pouvait construire des théories parfaitement cohérentes en partant d’axiomes bien différents. Le Russe Lobatchevski est parti de l’hypothèse suivant laquelle une infinité de droites parallèles à D passent par M. Il en a déduit toute une théorie, où l’espace et les figures géométriques ont des propriétés étranges. Par exemple, la somme des angles d’un triangle est inférieure à 180°. Vers la même époque, l’Allemand Riemann construisait une géométrie basée sur un principe opposé : par M ne peut passer aucune droite parallèle à D. L’espace de Riemann est courbe (en continuant en ligne droite, on revient à son point de départ) et la somme des angles d’un triangle y est supérieure à 180°.

La création de géométries non-euclidiennes a montré qu’on peut construire plusieurs théories cohérentes et pourtant incompatibles. Dès lors, on s’est mis à douter que les axiomes des mathématiques fussent nécessairement vrais. D’ailleurs, la théorie de la relativité générale d’Einstein a confirmé que le cinquième postulat d’Euclide n’est pas aussi évident qu’il en a l’air. En effet, elle affirme que l’espace physique n'est pas euclidien : il a une courbure, un peu à la manière de l’espace de la géométrie de Riemann.

c. En quel sens peut-on encore parler de vérité, en mathématique ?

Comme on vient de le voir, les savants ne demandent plus aux axiomes d’être évidents, mais de servir de base à une théorie cohérente, non contradictoire, où chaque théorème est déduit rigoureusement des axiomes. Dès lors, la vérité mathématique ou logique ne peut plus être pensée comme un accord de la pensée avec la réalité. La géométrie, par exemple, n’est plus censée nous renseigner directement sur l’espace physique, celui dont nous faisons l’expérience.

En un sens, cela était connu bien avant les géométries non-euclidiennes. Même si l’on admet qu’il y a un rapport entre le monde réel – celui dont nous avons l’expérience – et le monde des mathématiques, on sait que le second est un modèle simplifié du premier. Les objets mathématiques sont abstraits, et non concrets. On dit qu'une chose est abstraite lorsqu'elle est le résultat d'une abstraction. Cette dernière est une activité qui consiste à isoler mentalement un élément de la réalité concrète, en négligeant son contexte. Les objets mathématiques sont abstraits, parce qu'on les a créés en faisant abstraction d’une foule de propriétés des objets concrets.

Par exemple, les nombres sont abstraits : ils ne retiennent des ensembles concrets que la quantité d’éléments qu’ils contiennent, en négligeant la nature de ces éléments. Dans la réalité, il n’y a pas de nombre 5. Ce qui existe concrètement, c’est 5 doigts, 5 pommes, 5 euros... Le nombre « 5 » a été obtenu en faisant abstraction des ces doigts, pommes, euros, etc. Il en va de même pour les figures géométriques. On les a obtenues en faisant abstraction de la matière, de la couleur, etc., des objets réels : on n’a retenu que leur forme et leurs positions respectives dans l’espace.

On peut donc se demander s'il reste grand chose de la réalité dans les objets abstraits étudiés par la logique et par les mathématiques. Toute chose réelle, comme on va le voir, est singulière (unique) et en perpétuel changement. Or, les objets mathématiques sont non seulement généraux, mais figés. Un segment de droite, par exemple, reste éternellement identique à lui-même, car le temps n'existe pas dans le monde idéal des mathématiques. Dans la réalité, au contraire, aucune ligne n'est parfaitement droite, car tout change en permanence (même si le changement est souvent imperceptible à l'œil nu).

Avec les sciences démonstratives, et notamment avec les mathématiques, il semble donc que nous nous soyons écartés de la vérité au sens d’une adéquation entre la pensée et la réalité. Dans les mathématiques, en effet, on étudie un monde abstrait, qui n’a qu’un rapport indirect avec la réalité. Il semble donc qu’on ait affaire ici à un autre type de vérité.

La vérité, ici, pourrait se définir plutôt comme un accord de la pensée avec elle-même. Il s’agit moins de connaître la réalité que d’être logique, cohérent.

Mais les mathématiques sont également vraies par leur universalité : on pourrait en effet définir la vérité comme ce qui peut mettre tout le monde d’accord, ce qui peut être admis universellement. Tous les hommes ayant la même raison, ils sont susceptibles de se mettre d’accord sur quelques principes universels et sur les démonstrations qu’on peut déduire de ces principes. On pourra alors considérer comme vraie toute pensée susceptible d’être acceptée par tous les hommes, quels que soient leurs sentiments, leurs opinions, leurs idées politiques, religieuses, etc.

En ce sens, il faudra bien distinguer la vérité de la croyance (ou opinion). Celle-ci, dans la mesure où elle est un point de vue
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