Concours d'entrée en première année








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titreConcours d'entrée en première année
date de publication28.10.2016
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typeCours
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université d'antananarivo
ecole supérieure polytechnique
concours d'entrée en première année
année universitaire : 2008-2009
option : toutes
matière : mathématiques
durée : 03 heures

Exercice I


  1. Linéariser sin3x .

  2. Utiliser le résultat précédent pour calculer l'intégrale


Exercice II


Soit f la fonction définie sur par pour x >0 et f( 0 ) = 0.
On note ( C ) la courbe représentative de f dans un repère orthonormal (unité graphique 5cm).

Partie A


  1. Démontrer que la droite d'équation est asymptote à ( C ).



    1. Pour x > 0 calculer et étudier la limite de cette expression quand x tend vers 0.

    2. Que peut-on en déduire pour la fonction f ?

    3. Que peut-on en déduire pour la courbe ( C ) ?



    1. Pour tout x de , calculer la dérivée de f.

    2. Etudier les variations de la fonction f et dresser le tableau des variations de f.

    3. Tracer la courbe représentative de f.

Partie B


On note g la fonction définie sur par g( x ) = f( x ) - f '( x ).

  1. Montrer que dans , les fonctions g( x ) = 0 et x3 + x2 +2 x - 1 = 0 sont équivalentes.

  2. Démontrer que l' équation x3 + x2 +2 x - 1 = 0 admet une seule racine réelle .

  3. On pose . Montrer que .

Partie C


  1. Pour , on pose .

    1. Sans calculer explicitement un, déterminer le signe de un + 1 - un.

    2. En déduire le sens de variation de la suite ( un ).

  2. Démontrer que la fonction h, définie sur par est une primitive de f sur .

  3. Calculer un. Interpréter graphiquement le résultat.

  4. La suite ( un ) est - elle convergente ?

Exercice III


  1. On considère dans l’équation
    (E) : .

    1. Montrer que l’équation admet une racine imaginaire pure z1 que l'on déterminera.

    2. Résoudre l’équation ( E ). On notera z2 la solution réelle et z3 l'autre solution.

  2. Soit f 'application de dans définie par : pour tout

    1. On pose z = x + i y et f( z ) = x ' + i y'. Exprimer x ' et y ' en fonction de x et de y.

    2. Déterminer l’ensemble des points M d' affixe z pour que f( z ) soit imaginaire pur.

  3. Dans le plan complexe ( P ), on considère l' application définie par :

z ' = 2 iz +2 + i.

    1. On note M1 le point d'affixe z1 et M3 le point d'affixe z3. Vérifier que S( M1 ) = M3.

    2. Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de S.

    3. Déterminer l’ensemble image de par S.



    1. Déterminer l'ensemble des points M d’affixe z tels que .

    2. Quelle est l’image par S.

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