Le samedi 09 décembre 2011 nom








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1ère S1

Le samedi 09 décembre 2011 NOM :

Contrôle n°4 de Mathématiques

Question de cours : (sur 4 points)

Démontrer : Si et sont deux fonctions dérivables sur un intervalle de ℝ , alors la fonction produit est dérivable sur et pour tout réel appartenant à ,

Exercice 1 : Vrai ou faux. Justifier vos réponses (sur 3 points)

1°) Il existe une infinité de fonctions ayant comme fonction dérivée la fonction constante

2°) Si et alors la fonction est croissante sur .

3°) Si sur l’intervalle , alors est croissante sur .

Exercice 2 : (sur 5 points)

On considère la fonction définie sur par sont des réels.

Le point appartient à et la tangente à en A a pour équation .

A l’aide d’informations obtenues sur et , déterminer les réels .

Exercice 3 : (sur 10 points)

On considère la fonction définie par .

1°) Déterminer l’ensemble de définition de la fonction .

2°) Déterminer l’ensemble de dérivabilité de la fonction et déterminer la fonction dérivée de .

3°) Etudier le signe de et en déduire les sens de variations de .

4°) Déterminer l’équation de la tangente à au point d’abscisse

5°) Compléter le tableau de valeurs suivants (on arrondira à près)























































6°) Dans un repère orthonormal d’unité 2cm,

  1. Placer les points de d’abscisse .

  2. Tracer, sans justification,

  3. Tracer



Exercice 4 : (sur 7 points)

On considère la fonction définie sur par

1°) Donner l’ensemble de dérivabilité et la fonction dérivée de .

2°) Démontrer que pour tout

3°) Dresser le tableau de variations de .

4°) Déterminer le maximum de et préciser en quelle(s) valeur(s) il est atteint.

Exercice 5 : (sur 6 points)

On considère le point et le vecteur .

1°) Déterminer une équation cartésienne de la droite passant par et de vecteur directeur .

2°) On considère la droite dont une équation cartésienne est : .

Démontrer que les droites et sont sécantes et déteminer les coordonnées de leur point d’intersection .

Exercice 6 : (sur 5 points)

Soit ABC triangle et G le point tel que .

1°) Montrer que pour tout point du plan

2°) En déduire l’ensemble des points tel que .

Rappel : La norme du vecteur est :

Correction du contrôle n°4 de Mathématiques
Exercice 1 :

1°) VRAI. Soit un réel, il existe une infinité de fonctions : les fonctions

2°) FAUX. La fonction vérifie et . Cependant, est négative sur , donc est décroissante sur .

3°) FAUX, la fonction inverse est positive et décroissante sur

Exercice 2 : est un polynôme donc est dérivable sur .

Pour tout .

Comme . Comme la tangente à en A a pour équation ,
On résoud le système :



Pour tout

Exercice 3 : 1°)

2°) a. est une fonction quoitent, elle est dérivable sur son ensemble de définition.

b. Pour tout

3°)

























































































4°)

Or et

D’où :

5°)















































Exercice 4 : 1°) est un polynôme donc est dérivable sur . Pour tout .

2°) Pour tout

3°) On pose avec

. est donc du signe de (positif) sur .












































Signe de













Variations de













4°) La maximum de est donc et atteint en

Exercice 5 :

1°) et colinéaires

Une équation cartésienne de la droite est

2°)a. Un vecteur directeur de est .

Comme , les vecteurs et ne sont pas colinéaires. Les droites et sont donc sécantes.

b.

Le point .
Exercice 6 :

1°)

2°)

Il s’agit donc du cercle de centre G et de rayon 2.

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