Rapport d’expérimentation en date du 5 juillet 2007








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TICE ET TI-89 Titanium

Rapport d’expérimentation en date du 5 juillet 2007

Lycée Marie Curie de Nogent sur Oise


En classe de première S (Monsieur Christophe Leclerc)

Un des objectifs annoncés était la familiarisation des élèves à la notion de programmation. Cela a été un échec, du moins nous n’avons rien fait d’aussi élaboré que je ne l’espérais.

Nous nous sommes contentés d’écrire quelques programmes très simples, avec saisie de paramètres et quelques boucles conditionnelles.
Par exemple, dès le début de l’année, a partir des coefficients a, b et c, nous avons écrit un programme calculant le discriminant et les racines (si elles existent) du trinôme ax² + bx + c, ainsi que les variations et l’extremum de la fonction xax² + bx + c.
Les raisons de cet échec sont multiples :

  • La difficulté des élèves à comprendre la notion même d’un programme informatique.

  • Le temps pris pour écrire collectivement un programme (sans être trop directif pour leur laisser l’initiative) ; mais aussi le temps nécessaire pour corriger ne serait-ce que leurs erreurs de syntaxe.

  • Le programme de 1ère S étant très dense, nous avions trop peu de temps à consacrer aux activités sortant du cadre strictement scolaire.


En revanche, le fait que tous les élèves aient la même calculatrice a simplifié bon nombre d’activités, telles que la construction des premiers termes d’une suite définie par une relation de récurrence.

Au fil des cours, les élèves ont ainsi appris à maîtriser les fonctions couramment utilisées en classe de première (la dérivation, le calcul de limites, etc.).
J’ai proposé un contrôle de trigonométrie où il s’agissait de donner les valeurs exactes du cosinus ou du sinus de kxk{-10 , … , 10} et
x  {/6 , /4 , /3 , /2}

Ces calculs étaient générés par un programme : les valeurs de k , de x et la ligne trigonométrique étaient choisis aléatoirement.

La boucle des nombres pseudo aléatoires était initialisée grâce à la date de naissance des élèves.

D’une part, cela permet aux élèves d’avoir a priori des listes de calculs différentes pour chacun.

D’autre part, cela permet à l’enseignant d’avoir un programme de correction (calqué sur celui des élèves) qui affiche le calcul et le résultat … Gain de temps !

Lorsque, en fin d’année, nous avons utilisé la fonction NBALEAT() pour des simulations (pour voir le lien entre statistiques et probabilités), ils n’ont pas manqué de faire le lien avec ce contrôle.


Perspectives pour l’année prochaine

M. Legry, qui expérimentait en Terminale S, est promu et quitte le lycée. Toutefois, d’autres collègues de TS se sont proposés pour poursuivre l’expérimentation.
Nous avons décidé d’équiper deux classes de TS. Mais les élèves de la 1ère S3, équipée cette année, ne sont pas sûrs d’être tous réintégrés à l’expérimentation : leur choix de spécialité en TS (maths, physique/chimie, SVT) implique qu’ils risquent d’être dispersés dans au moins trois classes différentes.

Et il semble que la création d’une classe mixte pose des problèmes d’emploi du temps.

Nous insistons auprès de notre administration pour que les élèves de 1ère S3 restent au maximum groupés, de façon à ce qu’un minimum d’entre eux ne soit exclu de l’expérimentation.


En classe de terminale S (Monsieur Ludovic Legry)

Je peux commencer par vous avouer que travailler avec toute une classe dotée de la même calculatrice, calculatrice formelle qui plus est ; fut un réel plaisir tant pour moi que pour les élèves tout au long de cette année scolaire. 
Un bémol toutefois, il serait bon que les calculatrices arrivent le plus tôt possible au Lycée. J’avais en effet prévu d’introduire l’exponentielle (ce que je souhaite faire très tot dans l’année) avec celles-ci, et j’ai du me rabattre sur le PC (dans l’attente de réception des machines).
Une autre remarque : le logiciel TI-Smart view peut être très utile pour une quelconque présentation (lorsque l’on ne dispose pas de rétroprojecteur dans une salle) ; cependant nous avons au Lycée un portable qui ne dispose pas de lecteur CD, auriez vous donc une version télechargeable de ce logiciel que l’on pourrait installer via clef usb…….

Concrètement




Les élèves ont tout de suite compris quel atout pouvait être cette calculatrice en vue de l’épreuve terminale du baccalauréat. Ils se sont donc très vite familiarisés avec la machine !
Je les ai laissé utiliser celle-ci lors de chaque interrogation écrite, et les incitait à en faire bon usage dès qu’une situation s’y prétait : conjectures, contre-exemples, problèmes ouverts, analyse d’implications, de réciproques éventuelles……..

Je me propose ici de vous faire part d’activités réalisées en classe avec cette machine.


Le 6 Novembre, cette séance de TICE :

Exponentielle - Une étude non standard

Expérimentation TI89 Titanium

On considère la fonction f définie sur l’intervalle [-6 ;4] par :
f(x) = exp[-x(3x3 + 14x² - 72x - 270)] – .


1)Tracé
a)Tracer à l’écran de la calculatrice une représentation graphique de cette fonction sur l’intervalle [-6;4].

b)Modifier la fenêtre pour obtenir un tracé permettant d’effectuer des conjectures quant-aux variations de cette fonction.

c)Utiliser la table de la calculatrice afin d’expliquer pourquoi il est si difficile d’obtenir à l’écran une représentation permettant d’émettre des conjectures.
2)Dérivée et variations
a)La fonction f est elle dérivable sur son ensemble de définition ?

b)Déterminer une expression de f’(x) sur [-6 ;4]. Vérifier le résultat à l’aide de la fonction « deriv » de la calculatrice.

c)Peut on déterminer les variations de f à partir de l’expression obtenue ?

d)Comment faire ?

e)Emettre une conjecture à l’aide de la fonction « factor » de la calculatrice. Vérifier cette conjecture.

f)Dresser alors le tableau de variations de f sur [-6 ;4]. On déterminera les valeurs exactes des extremas locaux de f à l’aide de la calculatrice. (aucune vérification n’est ici demandée)
3)Zéros de f
a)Peut on conjecturer le nombre de zéros de cette fonction à partir de la représentation graphique de f ? à partir de la table de valeurs?

b)Comment faire alors pour être plus précis ?

c)Prouver cette conjecture en appliquant le théorème des valeurs intermédiaires sur le (ou les) intervalle(s) adéquat(s).

d)Vérifier ce résultat à l’aide de la fonction « zeros » de la calculatrice.


Limités par les contraintes de temps et de programme je ne proposerai pas plus d’une activité de ce type par trimestre. Celle ci s’est cependant très bien déroulée, les élèves ont travaillé de façon efficace et rapide. Ils ont pu constater les limites mais aussi les apports indéniables de l’informatique au service des Mathématiques au travers de cette séance.

Le 12 Avril , une autre séance TICE :


Une recherche de lieu géométrique

pour la duplication du cube

Expérimentation TI89 Titanium

Sources : Depuis la Rentrée 2002-2003 sont mis en application les Nouveaux Programmes de Terminale S. En fin 2002 se sont tenues, à l'initiative de l'Inspection, dans les différents bassins de l'Académie de Lille des Réunions de Formation des enseignants concernés. Je me suis ici très largement inspiré des contributions des professeurs formateurs du Groupe de Travail de Dunkerque (Marie-Christine Obert, professeur au Lycée Angellier de Dunkerque ; Jean-Louis Wattez, professeur au Lycée de Flandres d'Hazebrouck) et des exemples d'activités mises en oeuvre en classe avec leurs élèves.

Référentiel :
Comme le précise le programme : « ….on prendra le temps de mettre en œuvre toutes les connaissances de géométrie de l’ensemble du cursus scolaire pour l’étude de configurations du plan ….. » .

Objectifs :
Je profite donc de cette activité pour :

  • réinvestir les connaissances des élèves en géométrie analytique et en analyse fonctionnelle,

  • faire travailler ceux ci autour de la notion d’équivalence.

Et ce, tout en profitant des performances de la TI89 Titanium en tant que

  • logiciel de géométrie dynamique (Cabri Junior),

  • outil de calcul formel dans le but de simplifier la résolution numérique parfois ardue pour nos élèves.


Le thème :


Autour de la racine cubique de 2.
Intéressons-nous à l’un des plus célèbres problèmes de l’antiquité grecque (VIIe s. avant J.C.) : « La duplication du cube ». La légende rapporte que les habitants de Délos auraient reçu d’un oracle l’ordre de construire et de dédier à Apollon un autel cubique d’un volume double de celui qui existait déjà. Tout le problème était de construire un segment de longueur .
On sait construire à la règle et au compas des segments de longueur .

OA = AB = BC = CD = 1. Les triangles OAB, OBC, OCD sont rectangles respectivement en A, B et C.



Les mathématiciens ont toujours recherché une construction à la règle et au compas d’un segment de longueur  ; ce n’est qu’au XIVe siècle que Wantzel montre que la construction d’un tel segment est impossible.
Platon a conçu un instrument s’appuyant sur la méthode 1 suivante, qui permet une construction approximative de la solution (l’existence théorique de la solution posant un problème crucial).

Dioclès (IIe siècle avant J.C.) a mis en place une courbe (la cissoïde) permettant de représenter la racine cubique de t pour un t donné …L’étude de celle-ci est développé dans la méthode 2.Bien entendu il est impossible de construire la cissoïde à la règle et au compas.

Le travail :
Méthode 1 : Une solution dédiée à Platon. (donnée pour information)

  1. Travail sur Géoplanw :


Réaliser la figure ci-contre sous Géoplanw :

Cliquer sur le repère (oxy), créer les points O(0 ;0) A(1 ;0) et B(0 ;2). Créer un point mobile sur la demi-droite [Oy) ne contenant pas B.Créer la perpendiculaire en M à la droite (AM), elle coupe la droite (OA) en N . Créer la perpendiculaire en N à la droite (MN), elle coupe la droite (OB) en P.

Rendre le point M mobile.

Intuitivement, il existe une seule position M pour laquelle P est confondu avec B.

Le logiciel donne l’impression de déplacer continûment le point M ( en fait, on le déplace pas à pas et on s’arrête quand la précision de dessin ne permet plus de distinguer P et B). Il ne s’agit donc que d’une solution approximative.

En créant l’affichage de OM on obtient une valeur approchée de .

b) Etude du cas où P est en B :


  • Démontrer que les triangles OAM, OMN et ONP sont semblables.

  • En déduire que et que .

Méthode 2 : La cissoïde de Dioclès.
a) Un lieu géométrique :

A est le point de coordonnés (1 ; 0) dans un repère orthonormal (O ; , ) . C est le cercle de diamètre [OA] et  la tangente à C au point A. D est une droite mobile passant par O, elle recoupe le cercle C en N et la tangente  en Q. Soit enfin le point M tel que  =  . D a pour coefficient directeur t (t appartient à ), la cissoïde est le lieu est le lieu des points M quand t décrit IR.
On utilisera ici Cabri Junior (sur la TI89 titanium) pour faire apparaître nettement l’allure de la cissoïde à l’écran de la calculatrice.

Pour cela :

  • on commence par placer une origine : F2 construire un point « au centre de l’écran »,

  • on représente les axes d’un repère orthonormé,

F2 droite passant par l’origine « horizontale »,

F4 droite des ordonnées perpendiculaire à la précédente passant par l’origine,

  • on représente D à l’aide de la commande F2 « passant par l’origine » ,

  • on construit le cercle C à l’aide de la commande F3 « passant par l’origine »,

  • on représente la tangente  à l’aide de F4 perpendiculaire à l’axe des abscisses passant par le point d’intersection de C avec cet axe,

  • on pointe les intersections N et Q de D avec C et  à l’aide de F2,

  • on représente le vecteur  avec F2,

  • M est construit comme image de O par translation de vecteur  : F5,

  • Il reste alors à faire apparaître à l’écran le lieu des points M lorsque D « tourne » autour de O, pour cela :

On selectionne F7 : trace,

F4 : le lieu de M « placer le curseur sur M »,

Quand  varie : F1.
Le professeur guide les élèves au fur et à mesure de la construction à l’aide de l’ensemble de vidéo-projection prêté par Texas Instrument.

  1. Recherche d’une équation cartésienne :




  • Donner une équation de D, de  et les coordonnées de Q en fonction de t. Donner une équation de C.

  • Démontrer que les coordonnées de N en fonction de t sont (  ; ) ; en déduire que celles de M sont (  ; ).

  • Vérifier (à l’aide de la commande « dénomcom(….) ») que les coordonnées (x ; y) de M sont solutions de l’équation x ( x2 + y2 ) – y2 = 0 (E).

On en déduit que la cissoïde est contenue dans l’ensemble des points du plan défini par l’équation x ( x2 + y2 ) – y2 = 0.

  • Réciproquement, M( x ; y) est un point tel que : x ( x2 + y2 ) – y2 = 0.

Si x = 0, montrer que M appartient à la cissoïde, quelle est alors la valeur de t ?

On suppose x non nul, on pose t = , donc y = tx.

Exprimer x et y en fonction de t (à l’aide de la commande « résol(x(x²+(tx)²)-(tx)²=0,x) »). Conclure.

  • Vérifier (à l’aide de la commande « résol(x(x²+y²) – y² =0,y) ») que (E) est équivalente à :

( y –  ) ( y –  ) =0 pour x appartenant à [0 ;1[ .
c) Etude d’une fonction :

f est la fonction définie sur [0 ;1[ par f(x) =  ,  est sa courbe représentative dans un repère orthonormal.

  • Etudier la limite de f en 1. Qu’en conclure pour  ?

  • Etudier la dérivabilité de f en 0.

  • Etudier les variations de f (on utilisera ici la commande « dériv » pour simplifier l’étude), dresser son tableau de variation.

  • Déterminer une équation de la tangente T à  au point d’abscisse .

  • Tracer  et T. Expliquer comment en déduire la cissoïde.


d) Retour au problème de la duplication du cube:
Reprendre les coordonnées de Q et M en fonction de t trouvées dans la partie b. P est le point d’intersection de la droite (AM) avec l’axe des ordonnées.

  • Démontrer que les coordonnées de P sont ( 0 ; t3 ).

  • Pour t  0, AQ = t et OP = t3 . Pour un segment de longueur t donné, comment construire à l’aide de la cissoïde un segment de longueur  ? Le faire à l’aide de  pour t=2.


Le bac approchant et les élèves alors davantage demandeurs de sujets de synthèse en vue des dernières révisions ; je n’ai pas réalisé d’autre activité. J’ai bien sur parallèlement continué à utiliser les fonctionnalités de cette calculatrice de façon plus ponctuelle dès que celle ci pouvait être de nature à donner un éclairage supplémentaire de telle ou telle notion du programme de Mathématiques.
J’insiste (de nouveau mais cela me semble fondamental) pour conclure sur un facteur essentiel : faites en sorte que les calculatrices soient disponibles le plus tot possible (cela permettrait davantage d’activités) dans les établissements, car comme vous pouvez vous en rendre compte l’année passe très vite en Terminale !
Cordialement, les professeurs de Mathématiques

Messieurs Legry et Leclerc.

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