Il faut que je sois capable








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Les FONCTIONS LOGARITHMES
Il faut que je sois capable :


  • .....................................................................................................................................................................................................




  • .....................................................................................................................................................................................................


1 ) Approche de la notion
a ) Échelle de temps
« Il y a environs 15 milliards d’années, le « big bang » donnait naissance à l’Univers ; 10 milliards d’années plus tard, naissaient
la Terre et le système solaire.
Bien plus tard, les plus anciens homidés firent leur apparition il y a environ 6 millions d’années et les australopithèques ( parmi
lesquels Lucy, jeune femme de 20 ans, découverte en Éthiopie ) peuplaient la Terre il y a 3 millions d’années.
Vinrent ensuite les premiers « vrais hommes » dont le plus ancien représentant connu, l’homo habilis, vivait il y a 2 millions d’années
qui a laissé peu à peu sa place à l’homo érectus ( dont l’homme de Tautavel : 450 000 ans ).
L’homo sapiens ( ou homme de Néanderthal ) occupait les lieux entre 35 000 et 10 000 ans et enfin l’homme moderne ( dont le
premier représentant était l’homme de Cromagnon ), ou homo sapiens sapiens, a remplacé l’homo sapiens. »
b ) Travail à réaliser
On veut représenter les nombres 10 000, 35 000, .... 15 milliards sur une droite munie d’une graduation régulière.
Si 1 mm représente 10 000 ans, quelle doit être la dimension de la feuille ? ......................……………………...................................
Devant une telle impossibilité, on exprime les nombres 1, 10, 100, 1 000, etc. sous la forme d’une puissance de 10.
Puis on construit une graduation, sur laquelle on inscrit ces puissances de 10 en leur faisant correspondre les exposants.
( par exemple, l’année 10 000 = 103 sera repérée par la graduation 3 )


  • Complète le tableau :





année



100


101





























graduation






































  • L’unité graphique étant égale à 2 cm, place les points correspondants aux nombres 1, 10, 100, ......, dans le repère ci-dessous.


papier14/07/0212:23:47

une fonction vient d’être définie : à une puissance de 10, elle fait correspondre son exposant.
Cette fonction porte un nom : elle est appelée ....................................................................................... et est notée ...........................
Par exemple, on note : .....................………........................................................................................................................................


  • Repère cette touche sur la calculatrice puis détermine les graduations correspondantes aux différentes dates citées dans le texte :


log 35 000 = ……………. ; log 450 000 = ……………. ; log 2 000 000 = ……………. ; log 15 000 000 000 = ………..…….


  • Comment peuvent s’écrire tous les nombres vus précédemment ? ……………………………………………………….………..


Écris 41 687 sous la forme d’une puissance de 10 : ………………………………………… donc ……………………………….

2 ) Représentation graphique de la fonction logarithme décimal
a ) En utilisant la calculatrice, complète le tableau



x


 1


 0,7


0


0,2


0,5


0,7


1


2


3


4


6


7


8



log x







































Que remarques-tu ? - ......................................................................................................................................................................
- .........................................................................................................................................................................
-..........................................................................................................................................................................

b ) Trace la représentation graphique de la fonction log dans le repère ci-dessous :


Quel est le sens de variation de la fonction ? ......................................................................................................................................

Je retiens :


  • pour trouver le …………………………….……………………… d’un nombre réel quelconque « x » strictement



……………….………., on utilise la touche ……….…….. de la calculatrice


  • .............................................  ................................................


( est équivalent à )


  • .....................................................................................................................................................................................................




  • .....................................................................................................................................................................................................




  • …………………………………………………………………………………………………………………………………………



3 ) Propriétés opératoires


  • En t’aidant de la calculatrice, complète le tableau suivant :





a


b



log ( a  b )


log a + log b


2


3





5,4


3,2





108


1011





Que remarques-tu ? ............................................................................................................................................................................


  • En t’aidant de la remarque précédente, complète les égalités suivantes :


log ( a4 ) = log ( a  .............................................. ) = ............................................................................. = ................................
plus rapidement : log ( a6 ) = ......................................................................................................................................................…..
log ( a11 ) = .............................................................................................................................................…..........


  • En t’aidant de la calculatrice, complète le tableau suivant :





a


b


a

log ( ––– )

b


log a  log b


12


4








15,4


3,2








1018


104






Que remarques-tu ?.............................................................................................................................................................................


  • En t’aidant de la remarque précédente, complète les égalités suivantes :


1

log ––– = .................................................................... = ....………………….……………........ = ...............................................

a

Je retiens :

a et b étant deux nombres réels strictement positifs :



  • log ( a b ) = ......................................................................................................................................




  • log ( a )n = ...........................................................................................................................................




  • log = .................................................................................................................................................




  • log = .................................................................................................................................................


4 ) Fonction logarithme népérien
Au XVIe siècle les astronomes sont confrontés à des calculs de plus en plus complexes. J. NEPER, à la recherche d’un procédé de
substitution de la multiplication par l’addition afin de simplifier les calculs, invente les logarithmes.
En fait ce sont les logarithmes népériens qui furent tout d’abord découverts par NEPER et c’est le mathématicien H. BRIGGS qui
lui suggéra d’utiliser les logarithmes décimaux.
a ) Relation entre log x et ln x
À l’aide de la calculatrice, complète le tableau suivant :



x



0,5


2


3


4


10


150


log x





















ln x





















ln x

––––––

log x





















Que remarques-tu ? ............................................................................................................................................................................
b ) Représentation graphique
Complète le tableau suivant puis trace la représentation graphique de la fonction ln dans le repère ci-dessous



x



0,25


0,5


1


2


3


4


5


6



ln x





























Quel est le sens de variation de la fonction ?........................................................................................................................................
Pour quelle valeur de « x » a-t-on ln x = 1 ? .....................................................................................................................................
Ce nombre est d’une importance fondamentale en mathématiques. On le note.....................................................................................
La fonction logarithme népérien est appelé, pour cette raison,.............................................................................................................
c ) Propriétés fondamentales
On admettra que les propriétés de la fonction logarithme népérien
sont les mêmes que celles de la fonction logarithme décimal
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