Chapitre 8 : Coût des capitaux propres Modèle de Gordon-Shapiro. Medaf








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date de publication01.01.2017
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Chapitre 8 : MEDAF et Gordon-Shapiro. (A compléter)

Chapitre 8 : Coût des capitaux propres 
- Modèle de Gordon-Shapiro.
- MEDAF

I – Définition
Les capitaux propres ne sont pas gratuits. En effets les apporteurs auraient pu placer leurs capitaux en achetant des actions par exemple. Ce manque à gagner représente le coût du capital.

Deux modèles permettent d’évaluer ce coût, le modèle de Gordon et le MEDAF.
Rappel :

  • Le taux d’actualisation (coût des capitaux propres) est le taux auquel on actualise les flux futurs de trésorerie afin d’en calculer la valeur actuelle. C’est le taux de rentabilité minimum exigé par l’entreprise pour un projet donné. Ce taux doit permettre de rémunérer le temps et le risque.

  • Le Coût du capital est le coût moyen pondéré des sources de financement de l’entreprise.
    Le coût du capital est défini pour un niveau de risque donné, lié à l’entreprise. Pour que le coût du capital puisse être utilisé comme taux d’actualisation, le risque du projet d’investissement ne doit pas être différent du risque de l’entreprise.


II – Modèle de Gordon-Shapiro


  1. Idée

Ce modèle repose sur l’hypothèse d’une croissance régulière du dividende à un taux annuel constant (inférieur au coût des capitaux propres). Cela suppose que chaque année une partie constante du bénéfice soit mise en réserve et réinvestie dans l’entreprise. Ces investissements accroîtront le bénéfice de l’année suivante …

Le cours de l’action est égal à la valeur actualisée de la suite infinie des dividendes futurs qu’il est prévu de verser à l’actionnaire. Le taux d’actualisation représente le coût d’opportunité des capitaux propres.


  1. Méthode de calcul



Soit : on a 
Démonstration :


D1

D1(1+g)

D1(1+g)2

D1(1+g)n-1



  1. Exercice 1


Les actions d’une société sont cotées 500 euros. Quel est le coût des capitaux propres si les dividendes attendus sont :

1°) Constants et égaux à 40 euros,
2°) Croissant au taux annuel de 4% avec D1 = 30 euros ?

III – Modèle d’Equilibre des Actifs Financiers (MEDAF)


  1. Idée

Ce modèle repose une relation logique entre 3 taux de rendement.

    • Le taux de rendement (ou coût des capitaux propres) exigé par l’entreprise S
      ou selon l’espérance de rentabilité exigée par les investisseurs.

    • Le taux de rendement moyen obtenu sur le marché des capitaux à risque ;

    • Le taux de rendement obtenu pour les placements sans risques
      (par exemple bons du Trésors, emprunt d’Etats..)


Si le cours des actions était à la hausse, il est probable que le cours de l’action de la société S le serait aussi. La sensibilité du rendement RS de l’action S dépend de l’action. Elle est mesurée par un coefficient nommé bêta et noté β caractéristique de l’action S.
Ce modèle permet de formuler le taux de rendement exigé par le marché pour rémunérer la détention d’un actif financier.
Le taux de rentabilité exigé par les actionnaires est la somme de deux éléments :

.


  1. Relation du MEDAF




On note que :


  1. Exemple

Supposons que le taux des emprunts d’Etats soit de 9% et que le taux de rendement moyen espéré sur le marché des actions soit de 18%. Avec la relation du MEDAF et la droite des titres (c'est-à-dire la droite exprimant la relation entre le taux de rendement et le coefficient bêta), Calculer le taux de rendement des capitaux propres exigé par les investisseurs.

1°) Dans un secteur 1 peu sensible à la conjoncture et dont le bêta est de 0,25.

2°) Dans un secteur 2 sensible dont le bêta est de 1,50.

D’après les données :

  • Secteur 1


  • Secteur 2



  • Droite des titres : On a : E(RS1) = 0.09 + Bêta

bêta

0

1

Taux de rendement E(RS)

RF = 0.09

E(RM) = 0.18




Bêta

E(RS)


  1. Estimation du bêta d’une action cotée

L’estimation du bêta est effectuée à partir d’une série chronologique des taux de rendement respectifs du marché de cette action, observés au cours des périodes précédentes.

Toute valeur RS (t) du taux de rendement de l’action S, observé à l’époque t , peut-être décomposée en une somme de 3 termes :

En fait on a :  (C’est le Bêta des RM)
On trouve donc le bêta en utilisant la méthode des moindres carrés.
Exemple
On a relevé pendant 13 mois consécutifs, le cours de l’action d’une société S et un indice représentatif du cours moyen sur le marché boursier des actions. Le taux de variation mensuel de l’indice représente le taux de rendement mensuel du marché, et le taux de variation mensuel du cours représente le taux de rendement mensuel de l’action S.

Indice du marché

Cours de l'action

RM

RM²

RS

RS²

RMRS

140

430

0.0571

0.0033

0.1791

0.0321

0.0102

148

507

0.0405

0.0016

0.0099

0.0001

0.0004

154

512

0.0649

0.0042

0.1504

0.0226

0.0098

164

589

0.0305

0.0009

-0.0900

0.0081

-0.0027

169

536

-0.0947

0.0090

-0.0504

0.0025

0.0048

153

509

-0.0850

0.0072

-0.0196

0.0004

0.0017

140

499

-0.0214

0.0005

0.0000

0.0000

0.0000

137

499

-0.0511

0.0026

-0.1102

0.0121

0.0056

130

444

-0.0769

0.0059

-0.1194

0.0142

0.0092

120

391

-0.0167

0.0003

-0.1304

0.0170

0.0022

118

340

0.1610

0.0259

0.1294

0.0167

0.0208

137

384

0.1241

0.0154

0.2526

0.0638

0.0313

154

481

 

 

 

 

 

 

Total

0.132456

0.076827

0.201311

0.189768

0.093263






















Moyennes des RM
















Moyennes des RS
















cov(RS,RM)
















V(RM)
















bêta de RM
















Méthode graphique :

On ajuste graphiquement une droite au nuage de points représentant les couples (RM,RS).

On mesure sur le graphique le coefficient directeur de la droite, il représente le coefficient bêta de l’action S.




















































Bêta(RM)



















HJJ

= 1,21




































































































DECF – Gestion financière – Epreuve 4

Compléments de mathématiques M. Duffaud Franck

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