«La photocopie tue l’auteur alors aider-nous à vous aider»








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Mr Serge - Guenaman www.netlog.com/guenaman

Préface

Les gammes de documents intitulés ‘’ GUENAMAN ’’ sont l’œuvre de Mr Serge-GUENAMAN, Etudiant en Licence Mathématique-Informatique Appliqués à l’Université d’Abobo-Adjamé en Côte d’Ivoire. Il entend par l’édition de ces documents contribuer à la formation intellectuelle des élèves des classes de Terminale Scientifiques. Selon lui, le travail est le seul moyen pour une personne de s’affirmer, de retrouver la liberté.

Vous trouverez dans ce document ‘’ GUENAMAN, OPTION MATH ‘’ des sujets de Math de la France, de quelques états des Etats-Unis et de l’Afrique septentrionale aux fins de vous confronter aux élèves de ces états qui prône l’éducation et la formation. Ceci vous élargie certainement votre champ d’action et vous prépare efficacement à affronter le BAC.

Pour une meilleure et rapide compréhension, les exercices de ce document sont regroupés par thèmes. Ils sont tous corrigés, commentés et plusieurs fois révisés. Cependant, tout homme étant sujet à l’erreur, il est possible que vous y déceliez des erreurs. Dans ce cas, contactez rapidement la maison d’édition par appel au +225 05 76 90 45 ou par mail à l’adresse guenaman@live.fr pour une éventuelle correction du document.

Toutefois, Mr Serge-GUENAMAN tient à rappeler que la chance d’y trouver des erreurs est très minime, vue le sérieux dont il a usé lors de la rédaction du document. Aussi se met-il à votre entière disposition pour une meilleure explication des exercices que vous trouverez difficiles. Que le courage et la persévérance soient vos alliées dans ce long et pénible combat que vous avez entrepris: les études.

Mr Serge-GUENAMAN s’excuse pour la qualité des caractères, c’est juste pour luter contre toute photocopie illégale du document. « La photocopie tue l’auteur alors aider-nous à vous aider ». Il existe aussi ‘’ GUENAMAN, OPTION PHYSIQUES ‘’ et ‘’ GUENAMAN, OPTION CHIMIE ‘’.

Bonne compréhension à vous et bonne chance pour le BAC.

Mr Serge-GUENAMAN
Exercice n°1

Six personnes sont invitées à s’assoir autour d’une table ronde. Combien peut-on dénombrer de dispositions différentes de ces personnes les unes par rapport aux autres ?

Exercice n°2

Dans une banque, chaque client possède un compte dont le code est composé de trois lettres et cinq chiffres non nécessairement distincts du type LMD12345.

1) On impose que les 3 lettres entrant dans la composition d’un code soient distinctes. Combien peut-on ouvrir de comptes dont le code :

a) Commence par AB ?

b) Commence par A ?

c) Contient un A ?

d) Contient un A ou un B ?

e) Contient un A et un B ?

f) Commence par A et se termine par 123 ?

2) On suppose que les trois lettres ne sont plus nécessairement distinctes. Combien peut-on ouvrir de comptes dont le code :

a) Commence par A ?

b) Finit par 999 ?

c) Contient au moins deux A ?

3) On suppose que les trois lettres ne sont plus nécessairement distinctes et qu’il est impossible d’utiliser les chiffres 0 1 2 3 4 qui sont réservés à des codes spéciaux. Combien peut-on ouvrir de comptes dont le code :

a) Commence par A ?

b) Finit par 999 ?

c) Commence par A et finit par 89 ?

Exercice n°3

La société CAILLAIT fabrique des yaourts aux fruits avec dix parfums différents. Le directeur des ventes propose de constituer des lots de quatre pots de parfums différents.

1) Combien de lots distincts peut-on former ?

2) Combien de lots distincts peut-on former sachant qu’ils ne doivent contenir simultanément un pot à la banane et un pot à la mangue ?

3) Combien de lots distincts peut-on former sachant que si un lot contient un pot au citron, il doit obligatoirement contenir un pot au fruit de la passion ?

Exercice n°4

On extrait une carte au hasard d’un jeu de 52 cartes. Calculer la probabilité des événements suivants :

1) «  La carte est une dame »

2) «  La carte est une dame ou un cœur »

3) «  La carte est une dame ou un cœur ou un roi »

4) «  La carte est une dame ou un cœur ou un carreau »

Exercice n°5

Dans un hôpital, on soigne 400 malades pour trois symptômes A, B et C. 120 malades présentent le symptôme A seulement, 64 le symptôme B seulement, 72 le symptôme C seulement, 72 les symptômes A et B seulement, 20 les symptômes B et C seulement et 12 le symptôme A et C seulement. On rencontre un malade de cet hôpital au hasard. Déterminer la probabilité que ce malade :

a) Présente les 3 symptômes.

b) Présente le symptôme A

c) Ne présente pas le symptôme B

d) Ne présente ni le symptôme A ni le symptôme C.

Exercice N°6

Un joueur lance deux dés dont les faces sont numérotées de 1 à 6. On suppose que les dés sont non-truqués et donc que pour chaque dé, toutes les faces ont la même probabilité d'apparition.
Le joueur suivant les règles suivantes:
- Si les deux dés donnent le même numéro alors le joueur perd 10 points
- Si les deux dés donnent deux numéros de parités différentes (l'un est pair et l'autre   impair) alors il perd 5 points.
- Dans les autres cas il gagne 15 points.
Le joueur joue une partie et on note X la variable aléatoire correspondant au nombre de points obtenus.

 a . Déterminez la loi de probabilité de X puis calculez l'espérance de X.
 b.  Représentez graphiquement la fonction de répartition de X.

Le joueur effectue 10 parties de suites. Les résultats des parties sont indépendants les uns des autres.
On appelle alors Y la variable aléatoire égale au nombre de fois que le joueur gagne 15 points.
c. Expliquez pourquoi Y suit une loi binomiale. Quels sont les paramètres de Y?
d. Quelle est la probabilité que le joueur gagne au moins une fois 15 points?
e. Combien de fois le joueur peut espérer gagner 15 points?
 Le joueur joue n parties de suite.
f. Quelle est la probabilité qu'il gagne au moins une fois 15 points?

g. A partir de quelle valeur de n sa probabilité de gagner au moins une fois15  points est  strictement supérieure à 0,9999 ?

Exercice N°7 Amérique de Nord Juin 2000 Bac ES

Les résultats de cet exercice seront donnés sous forme décimale arrondie au centième.
Un camp d'adolescents propose des stages d'activités nautiques pour débutants avec au choix: Planche à voile , plongée ou ski nautique.
Lors d'un stage donné, ce camp accueille vingt jeunes don sept seront initiés à la planche à voile, huit à la plongée et cinq au ski nautique.
Chaque stagiaire ne pratique qu'une seule des trois activités.
I. On forme un groupe de 3 stagiaires choisis au hasard parmi les vingt.

a: Combien de groupes est-il possible de former?
b: Déterminez la probabilité de chacun des événements suivants:
 A : " les trois stagiaires pratiquent des activités différentes "
B : " Les trois stagiaires pratiquent la même activité "
C : " Au moins l'un des trois stagiaires pratique le ski nautique ".

II . Parmi les trois stagiaires, un seul se prénomme Christian. Chaque jour, on choisit un groupe de trois stagiaires chargé du service au repas de midi.
a. Montrez que la probabilité que Christian soit choisi un jour donné pour le service de midi est égale à  0,15.
b. La durée du stage est de cinq  jours. Quelle est la probabilité de ne jamais choisir Christian pour le service de midi pendant le séjour ?
c. Quelle est la probabilité de le choisir exactement une fois ?
d. Montrez que la probabilité de choisir Christian au moins deux fois est inférieure à 0,2 .

Exercice N°8 D'après France Métropolitaine Septembre 1999 - Bac ES

Un entraineur d'une équipe de football a étudié les statistiques de tir au but (pénalty) de ses joueurs.  Il a alors remarquer que sur une série de cinq tirs au but, un joueur pris au hasard dans son équipe marque
- 5 buts avec une probabilité de 0,2
- 4 buts avec une probabilité de 0,5
- 3 buts avec une probabilité de 0,3.
Chaque joueur, à l'entrainement, tire 2 séries de 5 ballons. On admet que les résultats d'un joueur  à chacune des 2 séries sont indépendants.
Soit X la variable aléatoire égale au nombre de tirs aux buts réussis par un joueur au cours d'un entrainement.
I.
   
a . Calculez la probabilité, pour un joueur pris au hasard, de réussir tous ses tirs aux
        buts lors d'un entrainement.
   b . Précisez les valeurs possibles pour X et établir sa loi de probabilité.
        (on pourra s'aider d'un arbre).
   c . Calculez l'espérance de X .

II. L'entraineur considère que le joueur a réussi l'épreuve des tirs au but lorsque X > 8.
     Montrez que la probabilité pour un joueur de réussir cette épreuve lors d'un entrainement  est égale à 0,61 .

III. Chaque joueur participe à 10 séances d'entrainement. On admet que les épreuves de tirs au but sont indépendantes les unes des autres. On appelle Y la variable aléatoire égale au nombre de succès d'un joueur à l'épreuve des tirs au but au cours des ces 10 entrainements, c'est à dire le nombre de fois où il a marqué au  moins 8 buts. Si au cours d'une séance d'entrainement, il ne marque pas au moins  8 buts, on dit qu'il a eu un échec.
     Les résultats seront donnés par défaut, avec 3 chiffres après la virgule.
     Calculez pour un joueur :
      a . la probabilité de n'avoir aucun échec lors des 10 séances.
      b . la probabilité d'avoir exactement 6 succès.
      c . la probabilité d'avoir au moins 1 succès.

III .Calculez le nombre minimale d'entrainement auxquels doit participer un joueur pour que la probabilité d'avoir au moins un succès soit supérieure à 0,99.

Exercice N°9

Une urne contient 5 boules noires, 4 boules blanches et 1 boule verte. On tire simultanément 5 boules de cette urne.

  1. Combien y-a-t-il de tirages possibles?

  2. Si tous les tirages sont équiprobables, quelle est la probabilité de tirer

    1. aucune boule noire?

    2. autant de boules vertes que de boules blanches?

    3. au moins une boule noire?

    4. exactement une boule noire et exactement une boule verte?

Exercice N°10

Une classe de terminale compte 30 élèves dont 20 filles. A chaque cours de mathématiques, le professeur de cette classe interroge au hasard un élève. D'un cours à l'autre, le professeur ne se rappelle pas de l'élève interrogé au cours précédent ce qui fait qu'à chaque cours, le choix de l'élève par le professeur est indépendant des choix précédents.

  1. Quelle est la probabilité, à un cours donné, que l'élève interrogé soit une fille?

    n est un entier positif. On appelle X la variable aléatoire définie par:
    "X=nombre de filles interrogées durant n cours de mathématiques consécutifs"

  2. Quelle est la loi de probabilité de X?

  3. Quelle est la probabilité que le nombre de filles interrogées soit égal à 4 durant 10 cours consécutifs?

  4. Quelle doit être le nombre minimum de cours consécutifs pour la probabilité qu'aucune fille ne soit interrogée soit inférieur à 0,001?

Durant un trimestre, il y a 36 cours de mathématiques. Quel nombre de filles interrogées peut-on espérer?

Exercice N°11 (Série S, Amérique du Nord, 1996)

On désigne par n un entier naturel supérieur ou égal à 2.
On imagine n sacs de jetons S1, S2, ., Sn . Au départ, le sac S1 contient 2 jetons noirs et 1 blanc, et chacun des autres sacs contient 1 jeton noir et 1 jeton blanc. On se propose d'étudier l'évolution des tirages successifs d'un jeton de ces sacs, effectués de la façon suivante :
- Première étape : on tire au hasard un jeton de S1 ;
- Deuxième étape : on place ce jeton dans S2, et on tire, au hasard, un jeton de S2 ;
- Troisième étape : après avoir placer dans S3 le jeton sorti de S2, on tire, au hasard, un jeton de S3. et ainsi de suite.
Pour tout entier naturel k tel que 1< k < n, On note Ek l'événement "le jeton tiré de Sk est blanc"
1:
a)
Déterminez la probabilité de E1, notée P(E1), et les probabilités conditionnelles:
                                                http://www.maths-express.com/bac-exo/spe-es/proba-spe-es/liste3_htm_eqn1.gif
    Déduisez-en la probabilité de E2, notée P(E2).
b) Pour tout entier k tel que 1 < k < n, la probabilité de Ek est notée pk.
    Justifiez la relation de récurrence suivante :
                                                http://www.maths-express.com/bac-exo/spe-es/proba-spe-es/liste3_htm_eqn2.gif

2: Etude d'une suite (uk).
On note (uk) la suite définie par  http://www.maths-express.com/bac-exo/spe-es/proba-spe-es/liste3_htm_eqn3.gif
a) On considère la suite (vk) définie par, pour tout élément k de N*, vk = uk - 0,5.
     Démontrez que la suite (vk) est une suite géométrique.
b) Déduisez-en l'expression de uk en fonction de k.
    Montrez que la suite (uk) est convergente et précisez sa limite.

3: Dans cette question, on suppose que n = 10. Déterminez pour quelles valeur de k on a:
                                             0,4999 < pk < 0,5

Exercice N°12

Un gardien de but doit faire face, lors d'une démonstration, à un certain nombre de tirs directs. Les expériences précédentes conduisent à penser que :

  • s'il a arrêté le nième tir, la probabilité pour qu'il arrête le suivant [ le (n + 1)ieme] est 0,8;

  • s'il n'a pas arrêté le nième tir, la probabilité pour qu'il arrête le suivant est 0,6 .

  • la probabilité pour qu'il arrête le premier tir est 0,7

Dans tout l'exercice, si E est un événement, on note p(E) la probabilité de E, E, l'événement contraire de E. On note p(E/f ) la probabilité conditionnelle de l'événement E sachant que F est réalisé. An est l'événement ''le gardien arrête le nieme tir''. On a donc p(A1 )= 0,7.

  1. a: Donnez pour n  > 1 les valeurs de p(An+1 / An ) et p(http://www.maths-express.com/bac-exo/spe-es/proba-spe-es/nona.gifn+1 / An)
    b: Exprimez p(An+1 http://www.maths-express.com/bac-exo/spe-es/proba-spe-es/inter.gifAn ) et p(An+1http://www.maths-express.com/bac-exo/spe-es/proba-spe-es/inter.gif http://www.maths-express.com/bac-exo/spe-es/proba-spe-es/nona.gifn ) en fonction de p(An )
    c:Déduisez-en que, pour tout entier strictement positif n ³ 1 on a :p(An+1 ) = 0,2 p(An ) + 0,6.
     

  2. On pose à présent, pour n > 1, pn = p(An ) et un = pn - 0,75
    a: Démontrez que (un) est une suite géométrique de raison 0,2
    b:Déduisez-en une expression de pn en fonction de n
    c:Montrez que (pn ) admet une limite que l'on calculera.

Exercice N°13

Dans une salle de jeu un appareil comporte 4 roues, chacune portant à sa périphérie 8 images de fruits différents:
                   Ananas, Bananes, Cerises, Dattes, Fraises, Groseilles, Poires, Raisins.

Une mise de 1F déclenche le fonctionnement de l'appareil pour une partie.
Chacune des quatre roues affiche au hasard dans une fenêtre un de ces 8 fruits.

Exemple d'affichage :

http://www.maths-express.com/bac-exo/spe-es/proba-spe-es/image121.gif

 On admettra que tous les événements élémentaires sont équiprobables.

  1. Calculez la probabilité des événements suivants :
    E : on obtient quatre fruits identiques;
    F : on obtient trois fruits identiques et trois seulement;
    G : on obtient quatre fruits distincts.

  2. Certains résultats permettent de gagner de l'argent :
    50 F pour quatre fruits identiques;5 F pour trois fruits identiques;1 F pour quatre fruits distincts;
    0 F pour les autres résultats.
    Soit X la variable aléatoire qui à chaque résultat associe le gain indiqué ci-dessus.
    a: Quelle est la probabilité de l'événement "obtenir un gain non nul "?
    b: Déterminez l'espérance mathématique de X, notée E[X].
    N.B. Les résultats seront donnés sous forme décimale avec trois chiffres significatifs.

Exercice N°14

Dans une population donnée, 15 % des individus ont une maladie Ma. Parmi les individus atteints de la maladie Ma, 20 % ont une maladie Mb et parmi les individus non atteints de la maladie Ma, 4 % ont la maladie Mb.

  1. On prend un individu au hasard et on désigne respectivement par A et B les événements suivants :
    " l'individu est atteint de la maladie Ma "
    " l'individu est atteint de la maladie Mb"
    http://www.maths-express.com/bac-exo/spe-es/proba-spe-es/nona.gif désigne l'événement contraire de A, PA (B) désigne la probabilité de "B sachant A" c'est à dire la probabilité conditionnelle de B par rapport à A.
    a: Donnez les valeurs de p(A), pA(B) et phttp://www.maths-express.com/bac-exo/spe-es/proba-spe-es/nona.gif (B)
    b: Calculez p(B http://www.maths-express.com/bac-exo/spe-es/proba-spe-es/inter.gifA ) et p(B http://www.maths-express.com/bac-exo/spe-es/proba-spe-es/inter.gifhttp://www.maths-express.com/bac-exo/spe-es/proba-spe-es/nona.gif). Déduisez-en p(B)
    c: Calculez pB(A)

On prend 10 individus au hasard dans cette population et on désigne par X la variable aléatoire donnant le nombre de ceux ayant la maladie Ma et la maladie Mb.
a:Quelle est la loi de probabilité de X ?  
   (Donnez, en fonction de k, la probabilité P(X=k), où O < k < 10 )
b: Déterminez la probabilité de l'événement "deux individus au plus sont atteints de la maladie
    Ma et la maladie Mb "

Dans cet exercice les résultats seront donnés sous forme décimale à 10-3 près

Exercice N°15 Polynésie juin 1999


Une urne contient 5 boules noires et 5 boules blanches.
On prélève n boules successivement et avec remise, n étant un entier naturel supérieur ou égal à 2.
On considère les deux événements suivants:
        A:" On obtient des boules des deux couleurs";
        B:" On obtient au plus une boule blanche ".

1:
a:: Calculez la probabilité de l'événement: "Toutes les boules tirées sont de même couleur "
b: Calculez la probabilité de l'événement: "On obtient exactement une boule blanche".
c: Déduisez-en que les probabilités p(A et B) , p(A) et p(B) sont: , et

2: Montrez que p(A B) = p(A).p(B) si et seulement si 2 ( n - 1) = n+1.
3: Soit (Un) la suite définie pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 2 par:

Un= 2 (n - 1) - (n+1)
   a: Calculez les trois premiers termes de cette suite.
   b: Démontrez que cette suite est strictement décroissante.

4: Déduisez-en la valeur de l'entier n tel que les événements A et B soient indépendants

Exercice N°16 Amérique du Nord juin 1999

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