Leçon détaillée 1 liens avec le programme-cadre organisation physique 3 DÉveloppement de la leçon références Annexes Introduction Le module «Géométrie Analytique, 9eme année»








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Plan de leçon

La droite: géométrie analytique, 9e année (MPM1D)

Par

Anatole Emate (7376957)

Josué Roussel (7249131)

Ludovic Desroches Ricard (5794946)

Présenté à

Professeur Élysée Robert Cadet

dans le cadre du cours

PED 3724 G

Le 25 octobre 2013

Université d’Ottawa

Nature du travail:
En vous inspirant des exemples du Guide d’enseignement efficace des mathématiques du Ministère d’Éducation de l’Ontario, planifier une leçon complète sur un thème précis du contenu mathématique vu au cycle intermédiaire. Il s’agira d’une leçon planifiée à l’intention d’une classe régulière avec un faible pourcentage d’élèves en difficulté (5 % par exemple). Ces élèves doivent être pris en considération dans la planification.
Les droites

Sommaire


  1. Introduction

  2. Le plan de la leçon

  3. Leçon détaillée

3.1 LIENS AVEC LE PROGRAMME-CADRE

3.2. ORGANISATION PHYSIQUE

3.3 DÉVELOPPEMENT DE LA LEÇON

  1. Références

  2. Annexes


1. Introduction


Le module « Géométrie Analytique, 9eme année » fait partie du cours de Principes de mathématiques, 9e année, cours théorique (MPM1D), du curriculum ontarien. La planification de l’activité pédagogique s’étale sur quatre cours planifiés, parmi lesquels deux des quatre cours portent sur les applications: résolution de problèmes avec et sans outils technologiques. Dans le cadre de notre devoir, nous présentons la première leçon de ce module, que nous intitulons : les droites. La principale attente de ce cours est : interpréter l’équation d’une droite dans le plan cartésien pour déterminer ses caractéristiques. Pour réussir la transmission de ce cours et faire assimiler les attentes aux élèves, nous nous servirons du plan de la leçon et d'un logiciel dynamique de géométrie. Dans la suite de ce devoir, nous présenterons le plan de la leçon, le cours détaillé (mise en situation, activités, enseignement et enrichissement) et les évaluations. Les évaluations (formatif et/ou sommatif) et leurs grilles seront en annexe.

2. Plan de la leçon

Cours: Mathématiques

Niveau d’étude: 9e année, cours théorique Code du cours: MPM1D

Durée de la leçon: 75 minutes

Nombre d’élèves: 21 (1 élève en difficulté, adaptation)

Domaine d’étude: Géométrie analytique

Attente MEO: Interpréter l’équation d’une droite dans le plan cartésien pour déterminer ses caractéristiques.

3. Leçon détaillée
LIENS AVEC LE PROGRAMME-CADRE

Consignes:

(1) Comprendre le plan cartésien en 4 quadrants

(2) L’équation de la droite y=mx+b : déterminer la pente et les constantes dans le plan cartésien.

(3) Application: utilisation d’une carte routière par un automobiliste se déplaçant en relation avec les quatre points cardinaux.

Objets d’apprentissage:

- Coordonnées dans un plan cartésien

- Les variations de pente d’une droite, la constante comme droite.

- La carte routière dans une ville où les rues sont bâties en quadrillé



Attentes

- Interpréter l’équation d’une droite à l’aide d’un plan cartésien

- Visualiser avec ou sans outils technologiques si une droite est horizontale, verticale, si elle monte ou descend d’après sa pente, son équation ou sa table des valeurs.

Contenu d’apprentissage

- Identifier un lien entre une table des valeurs, d’un plan cartésien et d’une équation dans la construction d’une droite linéaire

- Comprendre la régularité d’une droite linéaire dans un plan cartésien

- Distinguer les variétés des droites en relation avec la pente.

- Identification d’une droite linéaire et verticale

- Interpréter l’équation d’une droite selon un contexte pratique

Concept

- La droite linéaire et le plan cartésien.


ORGANISATION PHYSIQUE

Matériel

- Papier quadrillé

- crayon, efface

- règle

- YouTube

- logiciel géogébra

- tableau, craie

- carte routière d’une ville quadrillée
Dispositif pédagogique

- Activité en classe

- Pour cette nouvelle matière, les élèves seront jumelés en groupe de 2 personnes.

Ils tenteront de dessiner une droite sur un plan cartésien et vice versa.


DÉVELOPPEMENT DE LA LEÇON
Une droite est une fonction qui peut être écrite sous la forme y = mx + b
Particularité : Graphiquement, une droite est une fonction dont l'inclinaison est

constante en tout point.
I. Composantes de l'équation d'une droite
La pente, qui est représentée par la lettre m, mesure l'inclinaison de la droite.

Elle correspond à la variation de la valeur de y lorsque x augmente d'une unité.
Graphiquement, elle exprime la variation verticale de la droite pour un déplacement horizontal d'une unité positive.

Si la droite passe par les points (x1, y1) et (x2, y2), la pente est obtenue par la relation

L'ordonnée à l'origine, qui est représentée par la lettre b, est la valeur de y lorsque x est zéro. Il s'agit donc de la position de la droite lorsque celle-ci croise l'axe des y.
Exemple

L'équation y = -2x + 1 représente une droite dont la pente est -2 (m=-2) et dont l'ordonnée à l'origine est +1 (b=1).
Notez bien que les variables x et y sont tout à fait arbitraires. Elles pourraient tous aussi bien être nommées u et v, comme c'est le cas dans les courbes de l’itinéraire direct. Il est seulement important de déterminer laquelle des variables constituent la variable indépendante (que l'on place sur l'axe horizontal) et laquelle constitue la variable dépendante (que l'on place sur l'axe verticale).
II. Comment obtenir l'équation d'une droite
En plusieurs occasions, il nous faudra trouver l'équation d'une droite à partir de certaines informations. Par exemple, quelle est l'équation de la droite qui passe les points (1,2) et (3,4)? Afin de répondre à cette question, il faut trouver les valeurs de m et de b qui caractérisent la droite.
1. Déterminer la pente
Par définition, la pente est mesurée par la relation

La pente de la droite passant par les points (1,2) et (2,3) serait


ce qui indique que pour déplacement d'une unité vers la droite, il y a un déplacement de 1 unités vers le haut. Notez également que le choix du "premier" et du "deuxième" point n'affectera pas le calcul de la pente :


2. Trouver l'ordonnée à l'origine
Afin de trouver la valeur de b, il s'agit d'utiliser un point connu de la droite et la pente qui vient d'être déterminée :
Nous venons de trouver que m = 1. L'équation de notre droite actuelle est

y = mx + b = x + b. Nous savons de plus que le point (1,2) se trouve sur cette droite et doit donc satisfaire son équation :
2 = 1(1) + b → 2 = 1 + b → b = 1
Encore une fois, le choix du point que l'on utilise n'affecte en rien le résultat obtenu. Aurions-nous choisi le point (2,3), le calcul aurait révélé :

3 = 1(2) + b → 3 = 2 + b → b = 1
La pente et l'ordonnée à l'origine étant maintenant connues, l'équation de la droite est :
y = x + 1.

III. Application - Le chemin le plus direct

III.1 Exemple 1

Compétences à développer:

- Identification des coordonnées, calcul de pente, formulation de l’équation de la droite.

Contexte:

- L’élève a un plan de la ville de “Pomme de Reinette” bâtie en quadrillé, c’est-à-dire que les rues sont disposées en carré. L’axe des X et des Y correspond aux deux artères principales de la ville. Une des rues principales pointe du sud vers le nord donc l’axe des Y ou verticale. L’autre pointe de l’ouest vers l’est donc l’axe des X ou horizontale.

- Une grande fête est organisée pour 4 amis qui demeurent éparpillés sur le territoire. Cette fête a lieu à un endroit précis. Chaque ami se déplace en automobile le plus directement possible en prenant 2 rues au maximum.


Le plan de la ville, location des 4 amis et le lieu de la fête



Vous trouverez sur la carte quadrillée:

- Les artères X et Y comme références.

- Chaque ligne sur le papier quadrillé correspond à une rue.

- Les points 1 à 4 correspondent donc à la résidence des 4 amis. André, Micheline, Jean, Éveline.

- Le point 5 est le lieu de rencontre. C’est une salle de spectacle qui s’appelle “Le Grand Nord”.
Consigne:

  1. Déterminer et inscrire la coordonnée de chaque maison des amis dans la carte de la ville.

  2. Déterminer et inscrire la coordonnée du point de rendez-vous, le point 5.

  3. Déplacer le véhicule de chaque ami le plus directement possible sans dévier dans une autre rue pour un maximum de 2 fois.

  4. Tracer la ligne droite de l’itinéraire direct: maison vers la salle de danse.

C’est le chemin le plus direct!


Solution:




III.2 Exemple 2
1. Compréhension de la droite comme point cardinal:



- Chaque ami arrive dans une direction différente si tu te réfères à la carte de la ville. La ligne que tu as tracée correspond à une direction sur la rose des vents. Cette référence correspond ni plus ni moins à une direction comme indiqué sur une boussole.

Direction: N, NE, E, SE, S, SO, O, NO.
Consignes:

(a) Dans quelle direction se sont déplacés les amis pour aller à la salle de danse?

- André, point 1 sur la carte:

- Micheline, point 2 sur la carte:

- Jean, point 3 sur la carte:

- Éveline, point 4 sur la carte:

(b) Équation générale de la direction comme droite:
Solution:

Reconstruction de la droite de direction: Afin de bien reproduire sur la rose des vents la direction du déplacement vers la salle de danse, il faut trouver l’équation de la droite.

Équation générale de la droite: y=mx+b



- m correspond à la pente ou direction vers le sud (S), nord (N), etc.

- b correspond au point où la ligne croise l’artère principale sur l’axe des Y.

Attention pour l’axe des X!

Cette équation de la droite ne s’applique pas si une des droites est parallèle à l’axe des Y. Indice: dans la carte, cet ami va dans la direction nord (N) sur l’axe des X.

Fin de l’activité: la direction des 4 amis indiquée sur la rose des vents

- Avec l’équation de la droite correspondant au déplacement, tu peux démontrer avec précision la direction que les 4 amis prennent sur la rose des vents.

- Pour dessiner la direction sur la rose des vents à partir de l’origine (0,0), enlever le “b” de l’équation de la droite y=mx+b.

pourquoi le faire? On ne garde que la pente pour garder la direction à partir de l’origine!

Adaptation de l’activité

Créer une table des valeurs avec quelques points des quatre droites qui sont dans le tableau.

III.3. Exercices

Problème :
Une compagnie produit des chaussures. Lorsque 30 chaussures sont produites, le coût total de production est de 325$. Lorsque 50 chaussures sont produites, le coût s'élève alors à 485$. Quelle est l'équation du coût (C) si celui-ci varie de façon linéaire (droite) en fonction du nombre de chaussures produites (q) ?
Solution : C = 8q + 85

Grille de critères : Évaluation formative (Application)


En lien avec compétence visée : Connaissance et compréhension)

Cours (75 minutes): Les droites



Objectifs/

Attentes

Interpréter l’équation d’une droite dans le plan cartésien pour déterminer ses caractéristiques.

Prérequis/

Connaissances antérieures

Cours de Géométrie analytique en 8e année

Activité

Rôle prof

Rôle élève

Concepts/techniques/

stratégies

Matériel/Contraintes

Différenciation/

Activités alternatives

Évaluation

Durée

- Prise des

présences &

Règlements de classe

- Question brise-glace

- Introduction du

plan de cours:

-Activité

- cours magistral

. Taux de variation et pente

. Forme usuelle d'équation

. Tracé de droite

. Calcul de pente à l'aide du graphique

. Coordonnées à l'origine

. caractéristiques d'une famille de droites

- Devoir

Prendre les présences.

Activité brise-glace en vue de valider les prérequis

Enseigne l'attente 1.

Explique l’activité et le

devoir.

Faire un retour sur la dernière leçon

Participation.

Poser des

questions,

donner leurs

hypothèses et

théories lors du

jeu brise-glace.

Être à l’écoute

des autres et de

l’enseignant,

prendre des

notes.

Faire le devoir

Questionnement,

interaction, justification

de leur point de vue et

hypothèse, plusieurs

réponses sont possibles

pour répondre à la

question brise-glace.

Cours magistral au

sujet des attentes du

module,

Documents

imprimés,

logiciel de

présentation, ordinateurs, vidéoprojecteur.

Contrainte:

Avoir la matière

à présenté

imprimé dans le

cas que le

logiciel de

présentation

n’est pas

disponible.

Activités pour élèves en difficultés (5%)

Lors de

discussion, ne

pas diriger

complètement le

sujet, laisser les

élèves démontré

leurs intérêts du

sujet.

Images

(visuel) à

l’aide du

web.

• Vidéos

Explicatifs

Diagnostique

Devoir:

Formatif

Devoir:

Sommatif


5 min.


5 min.

60 min

Notes/

Commentaires

Ce cours est d’une durée de 75 minutes, par contre la planification n’est que 70 minutes en cas de petits imprévus.



4. Références
1. Curriculum de l’Ontario, 9e-10e année, 2005

2. HEC Montréal, Centre d'aide en Mathématiques

3. KNILL, George, et collab. (1999), Omnimath 9, Montréal : Chenelière/McGraw-Hill

5. Annexes


  1. Grille critériée de l’évaluation sommative (Devoir)

  2. Devoir

  3. Corrigé du devoir




Compétences

Niveau 1

(1,5 points)

Niveau 2

(2 points)

Niveau 3

(2,5 points)

Niveau 4

(3 points)

Connaissances et compréhension


L’élève n’utilise pas les techniques apprises ou utilise des formules ou stratégies qui se révèlent inutiles au problème. Le but ne semble pas être bien compris.

L’élève utilise parfois les formules ou les techniques utilisables à fin de tenter de résoudre le problème. Il atteint plutôt le but orienté par sa démarche que celui assigné.

L’élève résout le problème surtout en se basant majoritairement sur les formules ou stratégies pertinentes. Il arrive au but du problème.

L’élève démontre qu’il connaît bien les formules et stratégies qui se révèlent pertinentes au problème. Il situe clairement le but du problème et utilise la bonne série d’étapes pour l’atteindre.

Habilités de la pensée


L’élève n’utilise pas un bon raisonnement ou ne s’en appui pas pour trouver sa réponse. Il n’arrive pas à faire un lien entre les idées maîtresses. Ses calculs ou explications sont fautives.

L’élève ne se base pas beaucoup sur le raisonnement pour arriver à sa réponse. Son raisonnement, ses calculs et ses explications sont partiellement correctes, mais une suite logique n’est pas suivie.

L’élève suit bien les lignes de pensé directrices convenables à la résolution de problème. Il démontre un bon raisonnement adapté au problème.

L’élève démontre une suite logique dans ses calculs et explications qui sont exactes. Il démontre un raisonnement réfléchie et justifiable avec des idées qui s’appuient l’une sur l’autre.

Communication


L’élève laisse presque pas de traces de sa démarche ou s’en tient t à soit exclusivement des calculs ou exclusivement des mots avec plusieurs parties trous ou parties incomplètes.

L’élève utilise qu’en partie des calculs et des mots pour valider sa démarche. Il démontre peu sa démarche.

L’élève utilise des mots et des calculs pour soutenir sa démarche. Il démontre bien son processus.

L’élève utilise des mots et des calculs à la fois appropriés, complets et succincts pour venir justifier sa démarche. Il démontre clairement son processus.

Mise en application


L’élève tente de transférer ses apprentissages aux mises en situation proposées en exercices, mais n’y arrive pas.

L’élève transfère parfois ses apprentissages aux mises en situation proposées en exercices ou le fait partiellement.

L’élève transfère bien ses apprentissages aux mises en situation proposées en exercices.

L’élève transfère efficacement ses apprentissages aux mises en situation proposées en exercices.

Devoir 1 : Géométrie Analytique Annexe A : Grilles de correction à critères
Durée estimée : 45 minutes


Compétences visées :

  • Trouver la pente à partir d’équations, de points cartésiens, de la droite et vice-versa

  • Traduire une mise en situation par une description mathématique et vice-versa

  • Bien utiliser le plan cartésien

Principes de Mathématiques, 9e année Le 25 octobre 2013
Cours théorique, MPM1D ANNEXE B :
Géométrie Analytique : Devoir 1

Nom : ________________________________________________

1.

http://mathsfirst.massey.ac.nz/algebra/coordsystems/images/quadgrid2.png














2.

Jérôme travaille à l’IGA de son cartier où il se fait payé au taux de 10 $ de l’heure. Son grand frère nommé Antoine, travaille comme camionneur pour une compagnie de livraison à longue distance. Antoine a le temps de faire qu’une seule livraison par jour. Il est payé 35 $ par livraison en plus d’un salaire horaire de 8 $ de l’heure.













3.

La rue Bombay à une côte qui peut être représenté par une équation de la forme :

http://mathsfirst.massey.ac.nz/algebra/coordsystems/images/quadgrid2.png

















4.











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