C- en particulier, pour n = 10 et k = 4, on a: d








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Exercices : la loi binomiale


Exercice 1

Environ 5% des réservations aériennes sur une ligne donnée ne sont pas utilisées, et c’est pourquoi

une compagnie vend 100 billets pour 97 places.

Quelle est la probabilité pour que tous les passagers aient une place ? Faire le calcul exact
Corrigé

Soit X le nombre d’annulations ; X suit la loi binomiale B (n = 100;p = 5/100), car on répète 100 fois

l’expérience « demander à un passager s’il annule sa réservation », de façon indépendante , X représente

alors le nombre de succès

Tous les passagers ont une place s’il y a au moins 3 annulations ; la probabilité recherchée est donc :

P(X 3) = 1-=1-88,17%

Exercice 2

Une classe de terminale compte 30 élèves dont 20 filles. A chaque cours de mathématiques, le professeur de cette classe interroge au hasard un élève. D'un cours à l'autre, le professeur ne se rappelle pas de l'élève interrogé au cours précédent ce qui fait qu'à chaque cours, le choix de l'élève par le professeur est indépendant des choix précédents.

  1. Quelle est la probabilité, à un cours donné, que l'élève interrogé soit une fille?

    Soit n un entier positif. On appelle X la variable aléatoire définie par:
    "X=nombre de filles interrogées durant n cours de mathématiques consécutifs"

  2. Quelle est la loi de probabilité de X?

  3. Quelle est la probabilité que le nombre de filles interrogées soit égal à 4 durant 10 cours consécutifs?

  4. Quelle doit être le nombre minimum de cours consécutifs pour la probabilité qu'aucune fille ne soit interrogée soit inférieur à 0,001?

  5. Durant un trimestre, il y a 36 cours de mathématiques. Quel nombre de filles interrogées peut-on espérer?

Correction Exercice 2

Comme il y a 30 élèves dans la classe dont 20 filles, la probabilité que l'élève interrogé soit une fille est : 2/3

X est la variable aléatoire égale au nombre de filles interrogées durant n cours de mathématiques par le Professeur.
b- Comme on suppose que le Professeur interroge de façon indépendante les élèves d'un cours à l'autre, pour chaque cours, la probabilité qu'une fille soit interrogée est constamment égale à p =1/3.
La variable X suit donc un loi Binomiale de paramètres (n, p = 2/3).


c- En particulier, pour n = 10 et k = 4 , on a:
                

d- On cherche n tel que P( X = 0 ) < 0,001.
    
    En utilisant la fonction ln (logarithme népérien),  on doit donc avoir :
    

e- Le nombre filles interrogées que l'on peut espérer est l'espérance de X.
    On sait que l'espérance d'une variable aléatoire X suivant une loi Binomiale
    de paramètres (n , p) est : E[X] = np
    
Sur 36 cours de mathématiques, on peut donc espérer
                                          
    filles interrogées

Exercice 3 – probabilités conditionnelles et loi binomiale.

Dans une académie, les élèves candidats au baccalauréat série ES se répartissent en 2003 selon les trois enseignements de spécialité : mathématiques, sciences économiques et sociales et langue vivante.

Nous savons de plus que : 37% des candidats ont choisi l’enseignement de spécialité mathématiques.

  • 25% des candidats ont choisi l’enseignement de spécialité langue vivante.

  • 21% des candidats ont choisi l’enseignement de spécialité mathématiques et ont obtenu le baccalauréat.

  • 32,5% des candidats ont choisi l’enseignement de spécialité SES et ont obtenu le baccalauréat. De plus, parmi les candidats ayant choisi l’enseignement de spécialité langue vivante, 72,5% ont obtenu le baccalauréat. On interroge un candidat pris au hasard. On note :

  • M l’événement « le candidat a choisi l’enseignement de spécialité mathématiques » ;

  • S l’événement «  le candidat a choisi l’enseignement de spécialité sciences économiques et sociales » ;

  • L l’événement « le candidat a choisi l’enseignement de spécialité langue vivante » ;

  • R l’événement « le candidat a obtenu le baccalauréat ».

On pourra faire un arbre pour faciliter la réponse aux questions. Les résultats seront arrondis au millième.

1) Traduire en termes de probabilités les informations numériques données ci-dessus.

2) a) Déterminer la probabilité pour que ce candidat ait choisi l’enseignement de SES.

b) Déterminer la probabilité pour que ce candidat ait choisi l’enseignement de spécialité langue vivante et ait réussi aux épreuves du baccalauréat.

3) Quelle est la probabilité pour que ce candidat ait choisi l’enseignement de spécialité langue vivante et ait échoué au baccalauréat ?

4) Ce candidat a choisi l’enseignement de spécialité mathématiques. Quelle est la probabilité qu’il n’ait pas obtenu le baccalauréat ?

5) Montrer que le pourcentage de réussite au baccalauréat pour les candidats de ES dans cette académie est 71,6%.

6) On interroge successivement  au hasard et de façon indépendante trois candidats.

a) Quelle est la probabilité qu’au moins l’un d’entre eux soit reçu ?

b) Quelle est la probabilité que deux candidats sur trois exactement soient reçus ?

Corrigé exercice 3

1) En utilisant les notations de l’énoncé, nous avons p (M)=0,37, p (L)=0,25,

p (MR)=0,21, p(SR)=0,325 et pL(R)=0,725

2) a) On calcule p(S)=1-(p (M) +p (L)) ==1-(0,37+0,25)=1-0,62=0,38

b) On calcule p (LR)=p(L)xpL(R)=0,25x0,725=0,181250,181 arrondi au millième

3) Oncalcule  arrondi au millième

4) On calcule  arrondi au millième.

Puisque p (M)=0,37 et p(MR)=0,21, on calcule  et donc  arrondi à 10-3

5) En appliquant la formule des probabilités totales,

p(R)=p(LR)+p(SR)+p(MR)0,181+0,325+0,210,716, d’où la réponse

6) On répète 3 fois successivement, et de manière indépendante, la même épreuve consistant à choisir un élève qui peut avoir été reçu (issue R que nous appellerons SUCCES, de probabilité 0,716) ou qui peut avoir échoué (issue  que nous appellerons ECHEC, de probabilité 1-0,716=0,284).

Le nombre de succès suit une loi binomiale de paramètre 3 et 0,716.

On peut matérialiser cette situation par un arbre :



a) L’événement contraire de l’événement « au moins un des trois candidats est reçu » est l’événement « les trois candidats ne sont pas reçus », de probabilité 0,2843. L’événement considéré a donc pour probabilité 1-0,28430,977 arrondi au millième

b) Pour calculer la probabilité que deux candidats sur trois exactement soient reçus, soit on compte le nombre de chemins répondant à cette situation sur l’arbre (on en compte trois : RR , RR et RR, chacun d’eux représentant une probabilité égale à 0,7162x0,2841), soit on applique la formule donnant le nombre de succès dans une situation binomiale, pour aboutir au calcul :

 

Exercice 4

Un joueur lance deux dés dont les faces sont numérotées de 1 à 6. On suppose que les dés sont non truqués et donc que pour chaque dé, toutes les faces ont la même probabilité d'apparition.
Le joueur suivant les règles suivantes:
- Si les deux dés donnent le même numéro alors le joueur perd 10 points
- Si les deux dès donnent deux numéros de parités différentes (l'un est pair et l'autre   impair) alors il perd 5 points.
- Dans les autres cas il gagne 15 points.
Le joueur joue une partie et on note X la variable aléatoire correspond au nombre de points obtenus par lui.
       a. Déterminez la loi de probabilité de X puis calculez l'espérance de X.
       b.  Représentez graphiquement la fonction de répartition de X.

Le joueur effectue 10 parties de suites. Les résultats des parties sont indépendants les uns des autres.
On appelle alors Y la variable aléatoire égale au nombre de fois que le joueur gagne 15 points.
     c. Expliquez pourquoi Y suit une loi binomiale. Quels sont les paramètres de Y?
     d. Quelle est la probabilité que le joueur gagne au moins une fois 15 points?
     e. Combien de fois le joueur peut espérer gagner 15 points?
 Le joueur joue n parties de suite.
     f. Quelle est la probabilité qu'il gagne au moins une fois 15 points?
     g. A partir de quelle valeur de n sa probabilité de gagner au moins une fois
         15  points est  strictement supérieure à 0,9999 ?
Correction exercice 4

L'univers W est l'ensemble des résultats possibles après le lancer des deux dés.
Ici,  W  correspond au produit cartésien {1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6}x{1 , 2 , 3 , 4, 5 , 6}.
Son cardinal est Card (W) = 6² = 36.
Comme on suppose qu'il y a équiprobabilité des résultats des lancers, on a alors:

 Pour tout événement A de W, P (A) =

Card(A)
 Car(W)

a-
La variable aléatoire X peut prendre les valeurs -10 , -5 , +15. L'événement "X = -10" est l'événement "obtenir le même numéro".
C'est donc l'événement A = {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)}.
La probabilité de "X = -10" est donc :
                          P(X = - 10) = 6 / 36 = 1 / 6
De même, l'événement "X = -5" est l'événement "obtenir 2 numéros de parités différentes".
C'est donc l'ensemble des couples (a , b) tels que a soit dans {1,3,5} et b soit dans {2,4,6}  ou bien a soit dans {2,4,6} et b soit dans {1,3,5}.
La cardinal de cet événement est donc : 3x3 + 3x3 = 18.
D'où :               P( X = - 5) = 18 /36 = 1/2.

Comme S P(X = k) = 1 , on en déduit que P(X = 15) = 1 - P(X=-10) - P(X=-5).
D'où :             P(X = 15) = 1 - 1/6 - 1/2 = 1/3
On résume cela sous la forme d'un tableau :

X = k

-10

- 5

 15

P(X = k)

1

6




1

2




1

3





L'espérance de X est alors : E[X] = P(X=k).k = (1/6)(-10) + (1/2)(-5) + (1/3)(15)

D'où : E[X] = 5/6

b-La fonction de répartition de X est la fonction F définie sur IR par :
           Pour tout x réel,  F(x) = P(X < x).
    D'après le tableau de la loi de probabilité de X, on en déduit que :
        Si x < -10 alors F(x) = 0.
        Si -10 < x < -5 alors F(x) = 1/6
        Si -5 < x < 15  alors F(x) = 1/6 + 1/2 = 2/3.
        Si x > 15 alors F(x) = 1/6 + 1/2 + 1/3 = 1.
    D'où la courbe de la fonction de répartition de X.


c:
Si le joueur effectue 10 parties de suite dont les résultats sont indépendants les uns des autres, comme pour chaque partie, la probabilité d'obtenir 15 points est constante
et égale à 1/3 , on peut dire que la variable aléatoire Y égale au nombre de fois que le joueur gagne 15 points en 10 parties suit un loi binomiale de paramètres n = 10 et
 p = 1/3.   
                            Y suit donc la loi B (n = 10, p = 1/3)
On peut donc dire que pour entier k, on a :
                            
d:
La probabilité que le joueur gagne au moins une fois 15 points est :
      P(Y > 1) = 1 - P(Y = 0) = 1 - (2/3)10  

P(Y > 1) = 1 - P(Y = 0) = 1 - (2/3)10 =

58025

59049




e:
Le nombre de fois que le joueur peut espérer gagner 15 points en 10 parties est l'espérance de la variable aléatoire Y.
On sait que pour une variable aléatoire X de paramètre (n, p), l'espérance de X est :
E[X] = n.p
Comme Y a pour paramètre n = 10  et  p = 1/3 , on en déduit que l'espérance de Y est :
                                              E[Y] = 10 / 3.
f:
Si le joueur joue n parties de suite alors la variable aléatoire Z égale au nombre de fois où il gagne 15 points suit une loi binomiale de paramètre (n , p =1/3 ).
La probabilité qu'il gagne au moins une fois 15 points durant ces n parties est alors:
                                            P( Z > 1 ) =1 - P( Z = 0)
Comme P( Z = 0) = (2/3)n  , on a alors  P( Z > 1) = 1 - (2/3)n

g:
On veut alors que P( Z > 1 ) > 0,9999.   Ou encore que : 1 - (2/3) n  > 0,9999.
Ou encore que  (2/3)n < 0,0001. En utilisant la fonction logarithme népérien, on peut alors écrire que :
 

Le joueur a donc une probabilité de gagner au moins une fois 15 points supérieure à
0,9999 s'il joue au moins 23 parties de suite.
Exercice 5
Dans une population donnée, 15 % des individus ont une maladie Ma. Parmi les individus atteints de la maladie Ma, 20 % ont une maladie Mb et parmi les individus non atteints de la maladie Ma, 4 % ont la maladie Mb.

  1. On prend un individu au hasard et on désigne respectivement par A et B les événements suivants :
    " l'individu est atteint de la maladie Ma "
    " l'individu est atteint de la maladie Mb"
    désigne l'événement contraire de A, PA (B) désigne la probabilité de "B sachant A" c'est à dire la probabilité conditionnelle de B par rapport à A.
    a: Donnez les valeurs de p(A), pA(B) et p (B)
    b: Calculez p(B A ) et p(B ). Déduisez-en p (B)
    c: Calculez pB(A)

  2. On prend 10 individus au hasard dans cette population et on désigne par X la variable aléatoire donnant le nombre de ceux ayant la maladie Ma et la maladie Mb.
    a:Quelle est la loi de probabilité de X ?  
       (Donnez, en fonction de k, la probabilité P(X=k), où O < k < 10)
    b: Déterminez la probabilité de l'événement "deux individus au plus sont atteints de la maladie
        Ma et la maladie Mb "

    Dans cet exercice les résultats seront donnés sous forme décimale à 10-3 près.

Corrigé exercice 5

D'après le texte, 15% sont Ma, parmi les malades Ma, 20 % sont Mb. Et parmi les non Ma, 4 % sont Mb. Ceci peut se traduire, en utilisant les événements A et B par:

  1. a) P(A) = 0,15     :     PA(B) = 0,20    :    P(B)
    b) On sait que P(B A) = PA(B)P(A) donc : P(B A) = 0,15x0,20 = 0,03
         De même, P(B ) = 0,85x0,04 = 0,034.  car P() = 1 - P(A)
         D'après la loi des Probabilités Totales, on a donc:
         P(B) = P(B A) + P(B ) = 0,03 + 0,034 = 0,064.
    c) En utilisant la définition de la probabilités conditionnelles "A sachant B", comme on connaît P (B A), on obtient : PB(A) = 0,46875.

  2. Dans cette question, on est obligé de supposer que les choix sont indépendants les uns des autres, sinon, on ne peut pas répondre aux questions.
    a)Dans ce cas, si X est la variable aléatoire correspondant au nombre d'individus atteints des maladies Ma et Mb, alors X suit une loi binomiale de paramètres n = 10 et p = 0,03.
    Donc, pour tout k compris entre 0 et 10, on a :
                                           
    b) En particulier, on cherche : P(X < 2). Comme X prend des valeurs entières entre 0 et 10, on a donc : P(X< 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2).
    Ce qui donne : P(X < 2) = (0,97)10 + 10(0,03)1(0,97)9 + 45(0,03)2(0,97)8

    dont une valeur approchée est : 0,997235


Exercice 5 – bac S-Pondichéry 2009


On dispose de deux dés cubiques dont les faces sont numérotées de 1 à 6. Ces dés sont en apparence identiques mais l'un est bien équilibré et l'autre truqué. Avec le dé truqué la probabilité d'obtenir 6 lors d'un lancer est égale à .

Les résultats seront donnés sous forme de fractions irréductibles.

1. On lance le dé bien équilibré trois fois de suite et on désigne par X la variable aléatoire donnant le nombre de 6 obtenus.

a.Quelle loi de probabilité suit la variable aléatoire X ?

b.Quelle est son espérance ?

c.Calculer P(X=2).

2. On choisit au hasard l'un des deux dés, les choix étant équiprobables. Et on lance le dé choisi trois fois de suite.
On considère les événements D et A suivants:
•   D : « le dé choisi est le dé bien équilibré » ;
•   A : « obtenir exactement deux 6 ».

a.Calculer la probabilité des événements suivants :
•   « choisir le dé bien équilibré et obtenir exactement deux 6 » ;
•   « choisir le dé truqué et obtenir exactement deux 6 ».
(On pourra construire un arbre de probabilité).

b.En déduire que:P (A)=7/48.

c.Ayant choisi au hasard l'un des deux dés et l'ayant lancé trois fois de suite, on a obtenu exactement deux 6. Quelle est la probabilité d'avoir choisi le dé truqué ?

3. On choisit au hasard l'un des deux dés, les choix étant équiprobables, et on lance le dé n fois de suite (n désigne un entier naturel supérieur ou égal à 2).
On note Bl'événement « obtenir au moins un 6 parmi ces n lancers successifs ».

a.Déterminer, en fonction de n, la probabilité Pde l’événement B.

b.Calculer la limite de la suite (P). Commenter ce résultat.

Corrigé exercice 5

 1a.La variable aléatoire suit une loi binomiale de paramètres n=3 et p=1/6

b.

c..

2a.L'évènement « choisir le dé bien équilibré et obtenir exactement deux 6 » est

L'évènement correspond à « obtenir exactement deux 6 sachant le dé choisi est le dé bien équilibré » c'est à dire à l'évènement X=2 de la première question donc :


L'évènement « choisir le dé truqué et obtenir exactement deux 6 » est

La probabilité correspond à « la probabilité d'obtenir exactement deux 6 sachant le dé choisi est le dé truqué » :
Donc :



b.D'après le théorème des probabilités totales :


c.Ayant choisi au hasard l'un des deux dés et l'ayant lancé trois fois de suite, on a obtenu exactement deux 6. Quelle est la probabilité d'avoir choisi le dé truqué est :


3.

a.L'évènement contraire de est l'événement « n'obtenir aucun 6 parmi ces lancers successifs ».


Donc


b. Comme et :
.
Si on lance le dé "un très grand nombre de fois", on est "pratiquement assuré" d'obtenir au moins un 6 quel que soit le dé choisi.

 





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