Les problèmes de réinvestissement et d’application








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Lahcen IBNELAZYZ

Math lycée G2

types de problèmes mathématiques

Année de formation 2014/2015




Les types des problèmes mathématiques

  • Définition d’un problème

Nous allons tout d’abord déterminer ce qu’est un problème. D’après Gérard de Vecchi et Nicole Carmona-Magnaldi un problème est « une situation initiale comportant certaines données, qui impose un but à atteindre, qui oblige à élaborer une suite d’actions, qui mobilise une activité intellectuelle, qui fait entrer dans une démarche de recherche, en vue d’aboutir à un résultat final. Ce résultat est initialement inconnu et la solution n’est pas immédiatement disponible ».

Les auteurs du livre Faire vivre de véritables situations-problèmes insistent sur une des caractéristiques de cette définition: « entrer dans une démarche de recherche ». Un problème n’est donc pas, selon eux, la simple application de connaissances (théorèmes, règles… déjà connus) mais il comporte une recherche, la mise au point d’une stratégie pour le résoudre.

Bien sûr, face à un problème, on cherche la ou les solutions à ce dernier. Mais cette recherche est finalement plus importante que la ou les solutions trouvées au terme de cette dernière.
Il existe plusieurs sortes de problèmes que nous allons tâcher de différencier.

  • Les problèmes de réinvestissement et d’application .

On trouve les problèmes ayant pour but que les élèves réinvestissent des connaissances déjà travaillées. Il s’agit alors de les réutiliser dans un autre contexte et l’enseignant voit ainsi si les enfants se servent de la notion en question pour résoudre le problème. On pourrait ajouter à ces problèmes les problèmes d’application. Il s’agit pour les élèves d’appliquer une notion qu’ils viennent d’étudier afin de la maîtriser. Par rapport aux problèmes de réinvestissement, on est ici beaucoup plus proche du cadre dans lequel s’est fait l’apprentissage de la notion.

Les problèmes d’application sont donc proposés avant les problèmes de réinvestissement.
Exemple : les additions répétées destinées à faire acquérir la technique

opératoire.


  • Les problèmes complexes.


Il existe également des problèmes dits complexes. L’énoncé peut alors contenir un très grand nombre d’informations données par le biais d’un texte, d’un graphique, d’un schéma… (on peut avoir un ou plusieurs supports). L’élève doit, pour résoudre ces problèmes, passer par des étapes intermédiaires qui ne sont pas mentionnées dans l’énoncé par le biais d’une série de questions par exemple. Il doit donc scinder le problème en sous-problèmes et utiliser plusieurs notions. Ces dernières sont déjà connues de lui (comme dans les activités d’application et de

réinvestissement où l’élève a déjà vu la notion (il n’y en a qu’une) dont il aura besoin), il a déjà étudié le mode de résolution de chaque étape.


  • Les problèmes ouverts.


Le document d’application des programmes en mathématiques indique que certains

problèmes sont centrés sur le développement des capacités à chercher. Il s’agit des problèmes dits ouverts. Les problèmes ouverts proposent à l’enfant des situations nouvelles et le mettent en situation de chercher, voir d’inventer une méthode, une procédure pour le résoudre. Ils peuvent toujours être résolus de différentes façons, par des procédures variées. La démarche élaborée par l’élève est donc essentielle. Le maître, dans ce type de problèmes, s’intéresse plus à la procédure choisie, inventée par l’enfant qu’à la (ou les) solution trouvée.

Des problèmes ouverts peuvent être donnés aux élèves des trois cycles de l’école primaire (et non uniquement aux enfants de cycle 3 comme je le pensais à priori).

L’activité autour d’un problème ouvert se décompose en plusieurs phases.

Le problème est présenté aux enfants. Il peut reposer sur la vie de la classe, sur la vie courante, sur des jeux… (il s'agit d'exemples qui ne sont en aucun cas limitatifs). Il peut concerner un ou plusieurs domaines mathématiques (numérique, géométrique, logique, dans celui de la mesure). Ses supports sont très variés: un écrit, un exposé oral, une expérience…

En effet, un problème n’est pas forcément un texte suivi d’une question. Mais dans tous les cas, la mise en scène entourant la présentation du problème est très importante, les enfants devant avoir envie de relever le défi qui leur est lancé.
Remarque: Les enfants doivent s’approprier sans trop de difficultés le problème. En effet, la difficulté des problèmes ouverts ne doit pas reposer sur la compréhension du problème mais sur le besoin d’élaborer une procédure originale pour le résoudre (les procédures possibles ne devront donc pas apparaître dès la découverte du problème et l’enfant devra réfléchir pour en trouver au moins une). Pour faciliter la compréhension et l’appropriation du problème, son énonciation peut être accompagnée de matériel (matériel qui ne devra toutefois pas à lui seul permettre aux élèves de résoudre le problème mais pourra les aider à valider ou invalider

leur(s) solution(s)).

Les élèves, pour résoudre le problème qui leur est posé, disposent d’un temps de recherche personnelle puis d’un temps de recherche en groupe. Les échanges qui se développent à l’intérieur du groupe permettent aux enfants d’avancer dans la recherche d’une procédure permettant de résoudre le problème et d’en trouver une. On peut préciser à ce niveau que les problèmes ouverts peuvent être résolus par le biais d’essais successifs (essais systématiques ou essais et ajustements) ou par le recours à la déduction ou nécessiter une bonne organisation afin de découvrir toutes les solutions. Toutefois on notera que la plupart d’entre eux peuvent être résolus en utilisant des types de raisonnement différents. Le maître s’abstiendra d’apporter une aide sur la façon de résoudre le problème posé.

Après ces temps de recherche, il a y une mise en commun du travail effectué par chaque groupe. Au cours de celle-ci les enfants exposent les procédures, les solutions qu’ils ont trouvées. S’instaure alors un débat sur la validité des démarches et des solutions exposées. Il est important que, dans la mesure du possible, ce soient les enfants et non le maître qui valident ou invalident les procédures et la (les) solution(s).

Pour conclure la séance, une synthèse a lieu. Il s’agit de valoriser les qualités observées. Celles-ci sont diverses. A travers ces problèmes, apparaissent ou se renforcent des comportements et des méthodes tels la prise d’initiatives, la capacité à critiquer son travail, à s’organiser, être méthodique, à communiquer… Les débats, les moments d’échanges permettent de développer les capacités argumentatives des enfants. Ils favorisent l’écoute, la prise en compte et le respect de l’autre. Le travail de groupe favorise l’entraide. Les problèmes ouverts sont donc un moyen de faire de l’éducation civique.

En prolongement de la séance, le maître pourra proposer des problèmes du même type aux enfants qui n’ont pas réussi à trouver une procédure adaptée pour résoudre le problème en question ou qui ont eu des difficultés pour comprendre celles exposées par leurs camarades.


  • Les situations-problèmes.

Les problèmes ouverts, que nous venons d’étudier, ont pour but de développer les capacités à chercher des enfants. Dans les situations-problèmes, les élèves vont également passer par des phases de recherche. Mais l’objectif du maître est ici la construction d’une nouvelle notion, d’une nouvelle règle, d’un nouveau théorème, d’une nouvelle procédure… Les situations problèmes permettent à l’enfant de prendre conscience que ses connaissances actuelles sont erronées ou insuffisantes et le poussent, par réaction, à se construire par lui-même les notions, procédures dont il a besoin pour résoudre le problème qui lui est posé.

Une situation-problème est une situation dans laquelle un enfant se trouve confronté à un problème qu’il va essayer de résoudre à l’aide de ses représentations initiales, qui sont un obstacle à l’apprentissage d’une connaissance visée par l’enseignant, représentations qui vont s’avérer erronées ou insuffisantes ce qui déclenchera chez l’élève une rupture le conduisant à chercher, inventer une nouvelle règle, procédure qui prendra alors sens pour lui car nécessaire pour résoudre le problème auquel il est confronté, et qu’il cherchera à formuler dans des termes plus généraux afin qu’elle soit réinvestissable.

Notons qu’une situation-problème peut être donnée dans tous les domaines mathématiques: algébrique, géométrique, graphique, numérique…

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