Concours 2008








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concours 2008
APTITUDES À LA RÉSOLUTION DE PROBLÈMES

CALCUL

Les champs de connaissances requis sont :

• Les entiers relatifs, les décimaux et nombres réels ;

• Les pourcentages et les proportions ;

• Les puissances et les racines carrées ;

• Les identités remarquables ;

• Les progressions arithmétiques et géométriques ;

• Les équations du 1er et 2nd degré ;

• Les systèmes d’équations ;

• L’analyse combinatoire simple ;

• La moyenne statistique ;

• Les propriétés des triangle, cercle, rectangle et carré ;

• Les propriétés des droites parallèles et perpendiculaires.

MÉTHODOLOGIEM

190

TAGE-MAGE

Exemple 1

Lors d’une fête foraine, les organisateurs se font livrer un tonneau de vin à

9 heures du matin. À 11 heures, un cinquième du contenu du tonneau a été consommé,

soit 40 litres. Le soir, à la fermeture, le tonneau ne contient plus qu’un dixième de son

contenu initial. Quelle est la quantité de vin dans le tonneau à la fin de la fête foraine?

A) 80 litres B) 35 litres C) 30 litres D) 25 litres E) 20 litres

La solution repose sur une manipulation de proportion.

Soit 1/5 = 40 litres => 1/10, qui est la valeur recherchée, vaut la moitié.

La bonne réponse est donc « E ».

Exemple 2

Deux entiers naturels positifs met p sont tels que leur somme et leur produit vérifient :

(1) m x p = 35 (2) m + p = 12

Quelle est la valeur de m2 + p2

A) 64 B) 81 C) 77 D) 74 E) 88

Une lecture attentive de l’énoncé fait apparaître que la solution peut être trouvée

rapidement si l’on se souvient que m2 + p2 est un élément de l’identité remarquable

suivante : (m + p)2 = m2 + p2 + 2mp

Or l’énoncé nous donne à la fois m x p et m + p en conséquence l’identité

remarquable devient: 144 = m2 + p2 + 70

144 -70 = m2 + p2 Donc m2 + p2 = 74

La bonne réponse est donc « D ».
LOGIQUE

Exemple 1

OUI

NHK

ZDT UEA ? RGW SHC

LXO

KYQ

MÉTHODOLOGIEM

192

MÉTHODOLOGIE

TAGE-MAGE

Les réponses proposées sont:

A) VFB B) MHO C) MFM D) ZIK E) MLM

Dans la liste verticale des lettres, en commençant par le bas, 1re lettre, la logique

suivante apparaît: K, L, ?, N, O on en déduit que « ? » doit être « M ».

Toujours dans la liste verticale, on prend la 3e

lettre en commençant cette fois-ci

par le haut I, K, ?, O, Q. On constate un écart d’une lettre à chaque fois. On en déduit

donc que « ? » est un « M ». Il nous reste ainsi deux réponses possibles « C » et «E».

Prenons la liste horizontale, au niveau des lettres du milieu, la suite suivante

apparaît nettement, soit D, E, ?, G, H, la lettre manquante sera donc « F ».

Exemple 2

GNH

OAP

JCK

UFV

? OLK WTS ZED IXW

Les réponses proposées sont:

A) IBH B) NDP C) IKJ D) UBA E) QOR

Prenons la série verticale de lettres, nous constatons que les 1res et 3es lettres de

chaque série se suivent, soit G et H ; O et P ; J et K ; U et V. Nous pouvons donc

enlever les réponses « A », «B» et « D ».

Sur la série horizontale, nous constatons que l’ordre alphabétique des 2e

et

3

e

lettres est inversé, soit dans OLK nous avons L et K au lieu de K L, dans WTS nous

avons T et S au lieu de ST, dans ZED nous avons E et D au lieu de DE, dans IXW

nous avons X et Wau lieu de WX.

Nous ne retrouvons la logique que dans la série IKJ où nous avons K et J au lieu

de J et K.

MATHÉMATIQUES

Programme, conseils, bibliographie

PUBLIC CONCERNÉ

Tout public possédant les connaissances généralement enseignées dans un cours de

mathématiques de 2e

et de 3e

cycle scientifique, économique ou commercial, à

l’université ou en classes préparatoires.

NATURE DE L’ÉPREUVE

L’épreuve de mathématiques d’admissibilité en 2e

année a pour but de tester la

bonne assimilation du programme par les candidats, leur capacité de raisonnement et

leur aptitude à rédiger et expliquer.

Le sujet est composé de trois exercices indépendants portant sur l’analyse,

l’algèbre linéaire et les probabilités-statistiques, conçus, sans grande difficulté

théorique, de telle sorte qu’un candidat sérieusement préparé soit en mesure d’aborder

l’ensemble des questions.

PROGRAMME

Algèbre

Réduction des endomorphismes, diagonalisation et trigonalisation, systèmes

récurrents et différentiels, dualité, formes bilinéaires et quadratiques, orthogonalisation

de Schmidt, formes hermitiennes et endomorphismes unitaires, produit mixte et produit

vectoriel.

Analyse

Espaces métriques, espaces vectoriels normés, topologie de la convergence

uniforme, fonction de la variable réelle, formule de Taylor, intégrale des fonctions réglées

et critères de convergence, intégrale paramétrique et dérivabilité, critère de convergence

des séries, série de fonction et séries entières, fonction de plusieurs variables,

différentiabilité des applications partielles, théorème de Schwartz et recherche

d’extrémum local, les multiplicateurs de Lagrange, les équations différentielles du

premier et second ordre, géométrie différentielle, études des courbes et des arcs

paramétrés, courbes tracées sur une surface, intégrales multiples : aires et volumes.

Statistique

Les variables aléatoires continues, espérance mathématique et variance, les

principales lois statistiques, théorie de l’estimation, méthodes de tests d’hypothèses.

CONSEILS DE PRÉPARATION

Pour une préparation efficace

Une bonne assimilation du cours est indispensable. Il faut donc consacrer assez de

temps pour bien connaître les principales définitions, les théorèmes de base et les

MÉTHODOLOGIEM

MATHÉMATIQUES

287

MÉTHODOLOGIE

propriétés courantes. Il faut faire beaucoup d’exercices. Pour pouvoir contrôler ses

résultats, il vaut mieux utiliser des livres d’exercices corrigés. Mais il ne faut pas

consulter la solution sans avoir fait l’effort de chercher. Il est aussi conseillé de faire les

sujets des années précédentes.

Il faut apprendre à rédiger proprement : justifier ses réponses et ne pas citer la

conclusion d’un théorème sans vérifier les hypothèses.

Le jour du concours

Bien lire le sujet pour en comprendre la teneur et saisir l’enchaînement des

questions.

Chercher au brouillon avant d’écrire au propre une solution claire et concise.

En cas de blocage sur une question, on doit prendre le temps de relire et de faire la

synthèse de tous les résultats obtenus depuis le début, la réponse à la question posée est

souvent une application immédiate de l’un de ces résultats.

Écrire lisiblement et encadrer les résultats obtenus.

BIBLIOGRAPHIE

• F. Liret, D. Martinais, Cours de mathématiques. Analyse 2e

année, éd. Dunod.

• R. Dupont, J.-P. Fleury, Analyse, exercices avec solutions. Prépas écoles de

commerce, éd. Vuibert.

• C. Boy, A. Nizard, Analyse mathématique, exercices et corrigés. Prépas

économie, éd. Armand Colin.

• F. Liret, D. Martinais, Mathématiques pour le Deug : algèbre et géométrie

2

e

année, éd. Dunod.

• R. Dupont, Algèbre linéaire, rappels de cours et exercices. Classes préparatoires,

éd. Vuibert.

• A. Denmat, F. Héaulme, Algèbre linéaire, série T. D., éd. Dunod.

• C. Lebœuf et al., Cours de probabilités et de statistiques, éd. Marketing.

• A. Combrouze, Probabilités 1 et 2. HEC, option scientifique, éd. PUF, coll.

« Major ».

• F. Dress, Probabilités et statistiques, Deug sciences, éd. Dunod.

• TranVan Hiep, Morceaux choisis de l’oral de mathématiques, éd. PUF, coll.

« Major ».

• Tran Van Hiep, Mathématiques formulaire, éd. PUF, coll. « Major ».SSUJET

288

MATHÉMATIQUES

MATHÉMATIQUES

Ce cas a été rédigé par l’ESC Grenoble.

Durée : 2 heures.

CONSIGNES

Aucun document n’est autorisé. Calculatrices autorisées.

Barème : exercice 1 : 6 points ; exercice 2 : 6 points ; exercice 3 : 8 points.

SUJET

EXERCICE 1

EXERCICE 2

EXERCICE 3MATHÉMATIQUES

C

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