Ecole des hautes etudes commerciales








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ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES

EHEC


Version Etudiant

Enseignante : Belaid


Support Pédagogique

Mathématique financière




Année Académique 2014/2015




Thème

Mathématique financière


http://people.eecs.ku.edu/~miller/courses/vectorgeometry/images/barycentric_r.gif

ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES

EHEC

Niveau : 1ière année Master Module : Mathématique financière

Groupes : 5/6/9/10/11 Année Académique : 2014/2015

Enseignante : Belaid


Séance N°1





Présentation Générale


1 / Informations générales :


Intitulé du module Mathématiques financières


Unité d’enseignement unité fondamentale


Coefficient


Crédits


Volume horaire semestriel 24 h


Volume horaire hebdomadaire 1h30

2 / Objectif du module :

Ce cours vise à présenter les différents éléments du calcul financier et d’expliquer la notion de la valeur temporelle de l’argent. Il fait apparaître principalement cinq préoccupations :

  • La différence entre les différents types d’intérêts (intérêt simple, intérêt

composé).

  • La différence entre les situations d’actualisation et de capitalisation.

  • La méthode de calcul de la valeur future et la valeur présente d’une somme ou

d’une suite d’annuités.

  • Les grands domaines d’application du calcul financier.

  • Les tableaux d’amortissement des emprunts.


3 / Contenu :

Pour atteindre les objectifs d’apprentissage, le contenu du cours est structuré en six chapitres :

Chapitre 1 : Intérêt simple.

Chapitre 2 : L’escompte.

Chapitre 3 : Intérêt composé, capitalisation.

Chapitre 4 : Escompte à intérêt composé, actualisation.

Chapitre 5 : Annuité.

Chapitre 6 : Amortissement des emprunts indivis.

Chacun des chapitres comporte des applications permettant à l’étudiant de bien assimiler le contenu du cours. Des exercices et des problèmes à la fin de chaque chapitre permettront à l’étudiant de tester ses connaissances.
4 / Méthodes d’enseignement :

  • Une séance de 1h30 par semaine.

  • Cours

  • Travaux dirigés

  • Devoirs/

  • Tests.

  • Examen finale.

5 / Matériels et documents nécessaire :

  • Support pédagogique des cours

  • Séries d’exercices

  • Calculatrice scientifique.

6 / Mode d’évaluation :

  • Moyenne générale = [(Examen x coef) + le contrôle continue] / 3

  • Examen = la note de l’examen de fin de semestre

  • Contrôle continue = (présence + participation + devoir + test)

  • Présence = 15 – (nombre d’absence non justifier x 1) – (nombre d’absence justifier x 0.5)

  • Devoir = (devoir 1+ devoir 2) /2

  • Test = (test 1+ test 2) / 2

Remarque :

  • Toute absence doit être justifiée dans un délai fixé (la première présence après l’absence, sinon la justification est inacceptable).

  • Les absences répétées sans justification exposeront l’étudiant fautif à des sanctions qui peuvent aller jusqu'à l’exclusion ou la défaillance.

  • Les devoirs et les tests non effectués seront sanctionnés par une note égale à zéro.


7 / Références bibliographiques :

  • DEFFAINS-CRAPSKY C., Mathématiques financières, Bréal, 2003.

  • ELLOUZE A., Mathématiques financières, CLE, 2000.

  • Marie Boissonnade, Daniel Fredon, Mathématiques financières, 3eme édition, Dunod, Paris, 2007.

  • QUITTARD-PINON F., Mathématiques financières, ems, 2002.

  • Walder Masiéri, Mathématiques financières, dalloz, Paris, 2001.


ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES

EHEC

Niveau : 1ière année Master Module : Mathématique financière

Groupes : 5/6/9/10/11 Année Académique : 2014/2015

Enseignante : Belaid


Séance N°2





I/ Rappels de mathématiques :


I.1 : L’essentiel à savoir :

  1. Puissance :

  • Puissance entière :

Soit a ϵ R et n ϵ N (avec n ≥ 2). Ou définit :


n facteurs

En posant de plus :

a1 = a ; a0 = 1 (pour a ≠ 0) ; a-n = (pour a ≠ 0)

  • Propriétés :

an × ap = an+p

an × bn = (a b)n

(an)p = an .p

  • Racine n-ième et puissance fractionnaire :

Soit n ϵ N et x ˃ 0. On appelle racine n-ième de x, l’unique réel positif (a) tel que an = x, on écrit : a

En particulier : se note :

  • Pour x ˃ 0 , on note : =

Les règles de calcul sur les exposant rationnels sont alors les même que pour les exposant entiers.


  1. Suites numériques :

B.1 Suites arithmétiques :

En observant la série des nombres :

1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 18, 31, 34, 37, 40……

On constate que chaque terme de la « suite » est obtenu en ajoutant au précédent(3). Le premier terme de la suite étant donné ici « 1 », il est possible de connaitre n’importe quel élément de la suite. En notant Un et Un+1 deux termes successifs de la suite, on peut donc écrire :
U0 = 1

Un+1 = U0 + 3
Ou de manière générale :

On dit qu’une suite (Un) est une suite arithmétique s’il existe un réel r tel que :

Pour tous n ϵ N :

Un+1 =Un+r

U0 = a

Le réel r est appelé raison de la suite.


  • Terme générale :

Pour tout n ϵ N on a : Un = U0 + nr


  • En portant de U1 :

n ϵ N ; Un = U1 + (n-1)r


  • La sommes des n premiers termes est égale à :

U0+ U1+….+ Un- 1  =n.
B.2 Suites géométriques :

On observant la série de nombre :

3, 6, 12, 24, 48, 96, 192, 384, 768….

On constate que chaque terme de la suite est obtenu en multipliant le précédent par (2). Le premier terme de la suite étant donnée ici (3) il est possible de connaitre n’importe quel élément de la suite.

En notant Un et Un+1 deux terme successifs de la suite, on peut donc écrire :

U0 = 3

Un+1 = 2U0
Ou de manière générale :

On dit qu’une suite (Un) est une suite géométrique s’il existe un réel q ≠ 0 tel que :

Pour tout n ϵ N Un+1 = Un .q

U0 = a

Le réel q est appelé raison de la suite.

De même que la suite arithmétique, la suite géométrique est déterminée par la donnée de : - Son premier terme

  • Sa raison

  • Pour prouver qu’une suite est géométrique, il faut démontrer que le rapport est constant (indépendante de n).

  • Terme général :

n ϵ N, on a : Un = U0 . qn

  • Ou encore en portant de U: Un = U1 qn-1


EX :

  1. (U0) U1 = U0.q1 U2 = U.q1 = U0 .q1.q = U0 q2

U3 = U2 . q = U0 q2 .q = U0 q3


  1. (U1) U2 = U . q

U3 = U2 . q

= U1 . q . q

= U1 q2


  1. (U6) U10 = U6 . qn-6

= U6 q4

q1 q2 q3 q4

6 . 7 . 8 . 9 . 10 n=10

  • La sommes des n premiers termes, si q ≠ 1

U0 + U1 + ………+ Un-1 =

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EHEC

Niveau : 1ière année Master Module : Mathématique financière

Groupes : 5/6/9/10/11 Année Académique : 2014/2015

Enseignante : Belaid


Séance N°2,3





I/ Intérêts simples :



1 / Concepts généraux :

1.1/ Définition de l’intérêt :

L’intérêt peut être défini comme la rémunération d’un prêt d’argent.

C’est le prix à payer par l’emprunteur au prêteur, pour rémunérer le service rendu par la mise à disposition d’une somme d’argent pendant une période de temps.

Trois facteurs essentiels déterminent le coût de l’intérêt:

_ la somme prêtée,

_ la durée du prêt,

_ et le taux auquel cette somme est prêtée.

Il y a deux types d’intérêt: l’intérêt simple et l’intérêt composé.

EX :

Une personne (A) prête à une personne (B) une somme d’argent pendant une durée déterminée.

Ce service rendu par A ( le créancier) à B ( le débiteur), cette mise à la disposition de B d’un capital suppose, au bénéfice de A, une rémunération appelée ( intérêt), et qui n’est autre que le loyer de l’argent prêté.
1.2/ Justification de l’intérêt :
Plusieurs raisons ont été avancées pour justifier l’existence et l’utilisation de l’intérêt, parmi lesquelles on peut citer :

  • La privation de consommation: Lorsqu’une personne (le prêteur) prête une somme d’argent à une autre (l’emprunteur), elle se prive d’une consommation immédiate. Il est ainsi normal qu’elle reçoive en contrepartie une rémunération de la part de l’emprunteur pour se dédommager de cette privation provisoire.

  • La prise en compte du risque: Une personne qui prête de l’argent, le fait pour une durée étalée dans le temps. Elle court, dès lors, un risque inhérent au futur. La réalisation de ce risque résulte au moins des éléments suivants :

  • l’insolvabilité de l’emprunteur : dans le cas où l’emprunteur se trouve incapable de rembourser sa dette, lorsque celle-ci vient à échéance, le prêteur risque de perdre l’argent qu’il a déjà prêté. Il est alors normal qu’il exige une rémunération pour couvrir le risque encouru et dont l’importance sera appréciée en fonction de la probabilité de non remboursement.

  • l’inflation : entre la date de prêt et la date de remboursement, la valeur du prêt peut diminuer à la suite d’une érosion monétaire connue également sous le nom d’inflation. Le prêteur peut donc exiger une rémunération pour compenser cet effet.


3/ Formule fondamentale de l’intérêt simple :
Le montant de l’intérêt ( I) dépend évidemment :

  • C : le montant du capital prêté ou emprunté en DZ (valeur nominale).

  • n : De la durée de prêt en année (ou placement).

  • : Le taux d’intérêt annuel en pourcentage

La formule de I est de :



Ou bien


Exemple :

Calculer le montant d’intérêt que fournira Un capital de 25000dz, prêté pendant 2 ans, au taux de 9%, à un prêteur.


Réponse :


4/ Durée de placement exprimée en mois et en jours :

4.1/ la durée en mois :

La durée (n) d’un placement peut être exprimée en mois, elle correspond alors à n/12 d’année. La formule de calcule de l’intérêt conduit alors à écrire :


Exemple :

Calculer le montant d’intérêt sur Un capital de 48000dz, effectué à 7% pendant 11mois.


Réponse :


4.2/ la durée en jours :

La durée de placement peut être exprimée en jour. L’usage, l’année commerciale est arbitrairement fixé à 360 jours. n jours correspondent à n/360 d’année. Le formule générale prend alors la forme :



Indiquons cependant que bien que l’année soit retenue à 360 jours, les mois sont comptés à leur nombre de jours exact, et non à 30 jours, lorsque , en cas de placement de très courte durée, on indique la date initiale et la date finale de placement au lieu d’en donner la durée.

Exemple :

Un prêt consenti le 13 mars est remboursé le 18 juillet. Quelle a été, en jours la durée de l’opération.


Réponse :









5/ Calculs sur la formule fondamentale :

La formule générale de calcul de l’intérêt simple met en jeu les quatre quantités I, C, t, n, qui supposent donc la résolution de quatre problèmes différents, trois de ces quatre quantités fondamentales pouvant être connues, le problème consistant à calculer la quatrième.

La formule fondamentale permet sans difficulté la résolution de tous ces problèmes.

Ainsi, lorsque la durée de placement est exprimée, par exemple, en jours, on écrira :




6/ Valeur acquise par un capital :
La valeur acquise par un capital est la somme du capital placé et des intérêts qu’il a produit pendant la durée du placement.

Ainsi, selon que la durée de placement est exprimée en (n) années, (m) mois ou (n) jours, on aura la valeur acquise (A) :







Exemple :

Calculer la valeur acquise par un capital de 24000dz, placé à 10% pendant 45 jours.


Réponse :



7/ Représentation graphique de l’intérêt produit par un capital placé :

L’intérêt produit par un placement est fonction linéaire croissante du capital placé, ainsi que du taux, et aussi de la durée de placement, quelle que soit l’unité (année, mois, jour) dans laquelle est exprimée cette durée.

Exemple :

Représentation graphique de la variation, en fonction de la durée positive de placement (n) exprimée en mois, de l’interet produit par le placement d’un capital de 60000dz, à 8%



Représentation graphique :


I= 400n

2

4

12

10

8

6

4000

Durée n (en mois)

Intérêt (I)



8/ Représentation graphique de la valeur acquise par un capital :
La valeur acquise par un capital est fonction croissante du capital placé. Ainsi que du taux, et aussi de la durée de placement.

Exemple :

Représentation graphique de la variation, en fonction de la durée de placement exprimée en jours, de la valeur acquise par un capital de 18000dz, placé à 10%.

On peut ecrire :



Représentation graphique :


Valeur acquise = 5n + 18000

18000

360

300

240

180

120

60

Durée n (en jours)

0

10000

19500

20000

Valeur acquise



Exemple de synthèse:
Une somme de 10000 dz est placée sur un compte du 23 Avril au 9 Août au taux simple de 7 %

1/ Calculer le montant de l’intérêt produit à l’échéance.

2/ Calculer la valeur acquise par ce capital.

3/ Chercher la date de remboursement pour un intérêt produit égal à 315 dz.


Réponse :




9/ Taux moyen d’une série de placements effectués simultanément :
Une personne effectue simultanément K placements aux conditions suivantes :

Capitaux Taux Durées

C1 t1 n1 jours

C2 t2 n2 jours

. . .

. . .

. . .

CK tK nK jours

Les taux t1, t2,….,tK n’étant pas tous égaux entre eux.

L’intérêt total de cet ensemble de placement est égal à :


Nous appellerons taux moyen de cet ensemble de placement le taux unique Ɵ auquel il aurait fallu placer plusieurs capitaux pour obtenir le même intérêt total qu’avec les taux différents appliqués à chacun d’eux.

Exemple :

Calculer le taux moyen des placements suivants :

  • 5400dz placé à 8% pendant 70 jours.

  • 2310 dz placé à 6% pendant 60 jours.

  • 1800 dz placé à 7% pendant 40 jours.


Réponse :



Alors d’une manière générale :



On remarquera que cette formule de calcule de taux moyen ne dépend pas de l’unité dans laquelle est exprimée la durée du placement.

10/ Intérêt civil et intérêt commercial:

Pour leurs calculs d’intérêt simple, certains pays, quand les durées de placement sont exprimées en jours, retiennent l’année à 365 jours, ou bien 366 jours , ce qui conduit à utiliser la formule de calcul de l’intérêt sous la forme :



Nous appellerons intérêt civil l’intérêt ainsi calculé, et intérêt commercial, l’intérêt calculé en comptant l’année à 360 jours, l’intérêt commercial étant évidemment plus élevé que l’intérêt civil.

11/ Terme échu, terme à échoir, taux effectif:

Comme on l’a déjà signalé, selon les modalités du contrat de prêt ou de placement, les intérêts peuvent être versés en début ou en fin de période :

A/ Intérêts post-comptés : Tous les résultats et formules qui précèdent sont fondés sur le paiement des intérêts par l’emprunteur au jour de remboursement du capital emprunté. Alors Lorsque les intérêts sont payés en fin de période, on dit qu’ils sont post-comptés ou terme échu. Ils sont calculés au taux d’intérêt simple, sur le capital initial (C) qui représente le nominal. Ils sont ajoutés ensuite, au nominal pour constituer le capital final (V) (valeur acquise).

Pour un capital initial égal à (C) on a donc :


0 t

C C+Cit

B/ Intérêts précomptés : Lorsque les intérêts sont payés en début de période, on dit qu’ils sont précomptés ou terme à échoir. Ils sont calculés sur le nominal, qui constitue la somme finale (C) et retranchés du nominal pour déterminer la somme initiale ou mise à disposition.

Etant donné un nominal égal à (C), on aura alors


où C’ désigne la somme initiale.

0 t
C-Cit C
C/Taux effectif de placement : Quand les intérêts sont payables d’avance, le taux d’intérêt effectif est celui appliqué au capital effectivement prêté ou emprunté (C)’ donne le montant de l’intérêt produit. En désignant par T, le taux effectif.

Exemple :

Une personne place à intérêt précompté 10000dz pour un an, taux : 10% .

Quel taux effectif de placement réalise-t-elle ?


Réponse :



Généralisation :

Un capital (C) est placé, à intérêt précompté, au taux (t), pour (n) années.

Exprimer le taux effectif (T) qui résulte du précompte de l’intérêt.



Capital effectivement engagé par le préteur :


(T) est tel que

On en tire

Si la durée de placement était exprimée en mois on aurait :

Si la durée était exprimée en jours on écrirait :

12/ Méthode des Nombres et des Diviseurs fixes:

La méthode qui va être exposée est surtout utilisée lorsque la durée d’un placement est exprimée en jours.

A/ Principe de la méthode :

Partant de la formule ou encore posons

et N= C.n

La formule de calcule de l’intérêt devient :

Le produit (C.n), désigné par le symbole (N) est appelé Nombre.

Le quotient , désigné par le symbole (D) est appelé Diviseur fixe attaché au taux (t).

Ainsi t=9% a pour Diviseur fixe ; t=7,5% a pour Diviseur fixe

B/ Exemple :

Calculer l’intérêt d’un placement de 915,46dz, placé à 8% pendant 31jours.

Réponse :


C/ Calcul de l’intérêt global de plusieurs capitaux :

La méthode des Nombres et des Diviseurs fixes est surtout à retenir lorsque l’on doit calculer l’intérêt total procuré par plusieurs capitaux placés tous au même taux.

Exemple :

Calculer au taux unique de 8%, de l’intérêt globale fourni par les capitaux suivants :

712,15dz pendant 21 jours

2531,80 pendant 32jours

912,75 pendant 52jours

En appliquant la méthode des Nombres et des Diviseurs fixes on écrira :







D’une façon générale l’intérêt global fourni par plusieurs capitaux tous placés au même taux (t) est donné par la formule :



(D) étant le diviseur fixe attaché au taux (t).

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