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Applications Mathématiques financières

Exercices non corrigés en cours

MAE formation initiale 2006-2007


Bonjour à tous,
Ci-dessous donc, les applications non traitées lors de nos séances (5, 7, 8, 9, 12, 13, 14, 15, 16 et 17).
Comme convenu, je me mettrai à votre disposition le lundi 15 janvier, fin d’après-midi, à partir de 17H15, amphi WALRAS pour répondre à toutes vos questions sur ces exercices, ou sur l’un des points traités en cours.
Je vous souhaite à toutes et à tous de très bonnes fêtes de fin d’année et une année 2007 harmonieuse et belle.
Fabrice Le Vigoureux
Exercice 5



Présenter le tableau d’amortissement d’un emprunt de 500 000 €, au taux de 7%, remboursable en 4 annuités constantes après un différé d’amortissement de 2 ans.
Correction :
On a donc 6 annuités. Comme A1 = A2 = 0, les deux premières annuités ne comprennent que l’intérêt calculé sur le montant de l’emprunt (35000)
Après deux ans, le capital dû est toujours de 500 000. Les quatre dernières annuités sont donc égales à :



Année

CRD

I

A

a

1

500000

35000

0

35000

2

500000

35000

0

35000

3

500000

35000

112614,06

147614,06

4

387385,94

27117,02

120497,04

147614,06

5

266888,90

18682,22

128931,84

147614,06

6

137957,06

9656,99

137957,06

147614,06


Exercice 7

La société des Applications Electroniques (SAE) envisage une augmentation de sa capacité de production par l’achat d’un matériel d’une valeur de 1 000 000 € qui devrait permettre de dégager un revenu de 300 000 € par an pendant 5 ans.

On admettra que l’acquisition est réalisée le 31 décembre 2003 et que les revenus sont enregistrés chaque année le 31 décembre, à partir du 31/12/2004.

L’équipement envisagé est amortissable linéairement sur quatre ans. En fin d’exploitation, on estime qu’il pourrait être revendu 250000 € net d’impôts. L’entreprise est soumise à l’impôt sur les sociétés (35%). Elle sera globalement bénéficiaire pour les cinq années à venir.

Déterminer la valeur actuelle nette (VAN) après impôts de cet investissement pour un taux d’actualisation de 10%, puis son taux de rendement interne (TIR).
Correction :
Il faut dans un premier temps déterminer les flux nets de trésorerie (FNT)


Périodes

Investissement

Initial

Revenus

Amortissement

Résultat

IS

Revente

FNT

0

1000000
















-1000000

1




300000

250000

50000

17500




282500

2




300000

250000

50000

17500




282500

3




300000

250000

50000

17500




282500

4




300000

250000

50000

17500




282500

5




300000




300000

105000

250000

445000



Calcul de la VAN :

Son taux de rendement interne, TIR, est tel que :



Exercice 8
Pour un capital donné, vous avez le choix entre ces placements sur 2 ans, sans risque. Hiérarchisez les.
1er placement : intérêts composés, capitalisation annuelle, taux annuel de 6%.

2ème placement : intérêts simples, taux annuel de 6,2%.

3ème placement : intérêts composés, capitalisation mensuelle, taux mensuel de 0,49%.
Correction :
Au terme des deux ans, calculons les valeurs acquises des différents placements du capital X :





Le 3ème placement est donc le meilleur, suivi du deuxième et enfin du premier.
Exercice 9
Une entreprise veut créer un fonds d’amortissement pour un emprunt de 800000 € remboursable en une seule fois dans 6 ans.

Combien doit-elle verser à la fin de chaque année après la délivrance de ce crédit sur un compte rapportant 7% par an pour pouvoir effectuer le remboursement prévu ?
Correction :
Les 800000€ empruntés doivent être remboursés intégralement dans 6 ans. Ils constituent donc dans ce schéma la valeur acquise d’une suite de 6 annualités constantes au taux de 7%, selon la formule :
d’où a = 111836,64
Exercice 12
Le 1/6/N, l’entreprise E a contracté auprès de la banque B un emprunt de 950000 € destiné à financer l’aménagement de ses locaux administratifs. Cet emprunt, au taux annuel de 8,5% est remboursable en 7 ans par annuités constantes, la première étant versée le 1/6/N+1. Présenter le tableau d’amortissement de cet emprunt (3 premières lignes et la dernière ligne).
Correction :


Périodes

Cap. Restant dû

Intérêt

Amortissement

Annuité

1

950000

80750

104850,76

185600,76

2

845149,24

71837,69

113763,07

185600,76

3

731386,17

62167,82

123432,94

185600,76











7

171060,61

14540,15

171060,61

185600,76


Pour la détermination de la ligne 7, il est nécessaire de recourir à la loi de progression géométrique des amortissements : A7 = A3. (1,085)4

Exercice 13



Une personne place chaque 31 décembre ses économies de l’année, soit 2000 € à intérêts composés à 5% l’an. Elle pensait pouvoir réaliser ce versement pendant 20 ans (20 versements).

1. Quelle eût été la valeur acquise au moment du dernier versement ?

2. En fait, à partir du 11ème versement inclus, elle a pu placer chaque année une somme de 3000 €.

De combien augmentera la valeur acquise au moment du dernier versement ?

Correction :


  1. Valeur acquise au moment du dernier versement : 2000 . (1,0520 -1) / 0,05 = 66131,91

  2. Augmentation : 1000. (1,0510 – 1) / 0,05 = 12577,89


Exercice 14
Votre espérance de vie est de 37 ans. Vous pouvez placer sans risque au taux annuel de 3%.

Préférez-vous une rente annuelle, à compter d’aujourd’hui 21 janvier 2005, jusqu’au 21 janvier 2042 de 4500€, ou un capital unique, versé aujourd’hui, de 115000€ ?

Correction
Calcul de la valeur actuelle de la rente (38 versements), compte tenu d’un taux d’actualisation de 3% :


Cette valeur actuelle est inférieure au capital unique proposé. Il faut donc préférer le capital de 115000€.

Autre manière de raisonner : la valeur acquise par le capital de 115000€ le 21 janvier 2042 sera supérieure à la valeur acquise des 38 versements de 4500€ à cette même date. En effet :

343301,07>311217,52

Exercice 15



Chaque année, du 1er juillet 1996 inclus au 1er juillet 2005 inclus, un investisseur verse sur un compte portant intérêts composés, 10 000 €. Les versements se capitalisent annuellement au taux annuel de 5%.

a. Quel est le capital constitué immédiatement après le dernier versement ?

b. Quel montant l’investisseur peut-il retirer deux ans après le dernier versement ?

c. Dans l’hypothèse où cinq ans après le dernier versement, on décide de retirer annuellement 10000 €, du 1er juillet 2010 inclus au 1er juillet 2019 inclus. De quelle somme disposera-t-on sur le compte immédiatement après le dernier retrait (en tenant toujours compte d’un taux annuel de 5% pour vos calculs) ?
Correction :
a. Il y a 10 versements.

La valeur acquise le 1er juillet 2005 est donc :

125778,93
b. Deux ans après le dernier versement : 138671,27
c. En 2019, le capital constitué le 1er juillet 2005 aura « travaillé » 14 ans. A la valeur atteinte le 1er juillet 2019, il convient de soustraire la capitalisation d’une suite de 10 annuités constantes de 10000€, c’est-à-dire 125778,93. L’équation est donc la suivante :
123254,74

Exercice 16



La société COPRA a emprunté le 1er janvier 2004 une somme remboursable par annuités constantes de 203 362,60 €, la première étant exigible le 1er janvier 2005. Le premier amortissement est de 143 362,60 €. Le 3ème de 161 082,22 €.

Déterminer, dans l’ordre :

- Le taux de l’emprunt

- Son montant

- Sa durée
Correction :


  • Le taux de l’emprunt.


Il s’obtient en référence à la progression géométrique des amortissements.

Puisque nous avons : 6%


  • Le montant de l’emprunt


1000000


  • La durée de l’emprunt. Dans la formule suivante, n est l’inconnue.


. D’où : 6
La durée de l’emprunt est donc de 6 ans.
Exercice 17
Chaque mois, du 28 mars 1998 inclus au 28 mars 2005 inclus, un individu place 150 € sur un compte portant intérêts composés, à capitalisation mensuelle, au taux mensuel de 0,40%.
1. Quelle sera la valeur du capital constitué le 28 mars 2005 ?

2. Quel capital unique (alternatif à tous les versements) aurait-il fallu placer le 28 mars 1998 pour obtenir le même capital constitué le 28 mars 2005 ?

3. Quelle serait la valeur du capital constitué le 28 mars 2005 si aucun versement n’avait été constaté sur toute l’année 2003 ?
Correction :
Du 28 mars 1998 au 28 mars 2005, 85 versements sont constatés (pour une durée de 84 mois).
1. Calculons la valeur du capital constitué le 28 mars 2005 :


2. Pour répondre à la deuxième question, il convient de calculer la valeur actuelle de tous les versements au 28 mars 1998 :

3. Si on ne tient pas compte des 12 versements de 2003, il faut les retrancher de la réponse à la question 1, mais dans leur valeur capitalisée au 28 mars 2005. En d’autres termes, la capitalisation des 12 versements de 2003 doit être retranchée des 15149,82 du 28/12/2003 au 28/03/2005 (soit 15 mois)  :


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