Leçon 1- nombres entiers. Diviseurs- multiples








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Leçon 1- Nombres entiers. Diviseurs- Multiples




VOCABULAIRE





Abscisse

Addition

Nombre relatif

Grandeur

Soustraction

Produit

Multiplication

Division

Quotient

Parenthèse

Diviseurs

Multiples

Nombres premiers

10 est divisible par 5

Caractères de divisibilité

Diviseurs communs

Le plus grand commun diviseur PGCD

Le plus petit commun multiple PPCM

Décomposition en facteurs premiers

Tous les diviseurs d’un nombre naturel

Dépense

Outil

Enlever

Ajouter

Abcisa

Suma

Número entero (positivo o negativo)

Magnitud

Resta

Producto

Multiplicación

División

cociente

El paréntesis

Divisores

Múltiplos

Números primos

10 es divisible entre 5

Criterios de divisibilidad

Divisores comunes

Máximo común divisor

Mínimo común múltiplo

Descomposición en factores primos

Todos los divisores de un número

Gasto

Herramienta

Quitar (en el sentido de restar)

Sumar, añadir



La division euclidienne (recherche)

a) Transforme en minutes.

2h 15 min =

5h 12 min =

7h 35min =

15h 15 min =

27h 58 min =
b) Transforme en heures et minutes (mentalement ou avec la calculatrice)

78 min =…. 1235 min = ….

134 min = …. 3645 min = ….

243 min = ……. 783 min = …..

357 min = …. 851 min = ….

675 min = …. 971 min = ….
c) Écris les différents calculs qui te permettent de transformer 971 minutes en heures et minutes.

Écris une égalité semblable à celle proposée mais sans utiliser les unités.

971 min = 16 h 11 min 971 = ……………
d) Dans chaque cas, complète la première égalité, puis transforme-la sans utiliser les unités.

133 min = ……….h ………min 133 =

180 min = ……….h ………min 180 =

215 min = ……….h ………min 215 =

250 min = ……….h ………min 250 =

719 min = ……….h ………min 719 =
e) Complète le tableau en utilisant des nombres naturels.

dividende

diviseur

quotient

reste

égalité

72

5

14

2

72=5.14+2

109

25










137

9










202

20










120

17











En désignant le dividende par a, le diviseur par b, le quotient par q et le reste par r, trouve une égalité reliant ces quatre nombres

D= d·c+r

Lorsque a est un multiple de b et de reste dans la division euclidienne de a par b est nul, on dit que a est divisible par b.

Exemple: 18= 6 x 3 18 est un multiple de 6

18 est divisible par 6

6 est un diviseur de 18

Un nombre entier est divisible par 2 s’il termine par 0, 2, 4, 6 ou 8.

Un nombre entier est divisible par 5 s’il termine par 0 ou 5.

Un nombre entier est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est divisible par 3.

Un nombre entier est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est divisible par 9.

Un nombre entier est divisible par 11 si la différence entre la somme des chiffres de rang pair et la somme des chiffres de rang impair est un multiple de 11.


Outils pour le calcul de nombres relatifs



1. Notation simplifiées de l’addition et de la soustraction
Pour passer aux notations simplifiées dans une suite d’additions et soustractions :

On garde le signe intérieur pour les parenthèses précédées de signe +

Exemple : +(-5) = -5 ; +(+5) =+5

On change le signe intérieur pour les parenthèses précédées de signe –

Exemple : -(-5) = +5 ; -(+5) =-5
2. Règle de calcule pour l’addition et la soustraction.
Pour faire la somme de deux nombres relatifs on les écrit d’abord en forme simplifiée et après :
Si les nombres, dans leur forme simplifiée, ont le même signe on fait la somme des parties numériques et on ajoute ce signe au résultat.

(+3)+(+7) = +3+7 = +10

(-4)+(-6) = -4-6 = -10

Si les nombres, dans leur forme simplifiée, n’ont pas le même signe on fait la différence des parties numériques et on ajoute le signe du plus grand d’entre eux au résultat.

(+6)+(-4) =+6-4 = +2

(+6)+(-8) =+6-8 = -2

Pour faire la soustraction de deux nombres relatifs on les écrit d’abord en forme simplifiée et après :

Si les nombres, dans leur forme simplifiée, ont le même signe on fait la somme des parties numériques et on ajoute ce signe au résultat.

(+3)-(-7) = +3+7 = +10

(-4)-(+6) = -4-6 = -10

Si les nombres, dans leur forme simplifiée, n’ont pas le même signe on fait la différence des parties numériques et on ajoute ce signe au résultat.

(+6)-(+4) =+6-4 = +2

(+6)-(+8) =+6-8 = -2
3. Règle des signes pour les produits et les quotients
Le produit de deux nombres positifs est un nombre positif.

(+4)·(+5) = 4·5 = +20

Le produit de deux nombres négatifs est un nombre positif.

(-4)·(-5) = +20

Le produit d’un nombre positif par un nombre négatif est un nombre négatif.

(-4)·(+5) = -20

(+4)·(-5) = +20
Le quotient de deux nombres positifs est un nombre positif.



Le quotient de deux nombres négatifs est un nombre positif.



Le quotient d’un nombre positif et d’un nombre négatif est un nombre négatif.

où bien

4. Règles de calcul avec parenthèses

a. On effectue d’abord les calculs entre parenthèses, en commençant par les parenthèses les plus intérieures.

(9 + (5-6+1))· (4-9) = (9+0)· (-5) = (+9) · (-5) = -45
b. Dans une expression sans parenthèses on effectue les multiplications et les divisions avant que les sommes et les soustractions.

5 + 5·3 – 2 – 5·6 + 7·8 = 5+15-2-30+56 = -10-2-30+56 = -12-30+56 = -42+56 = 14
c. Dans une expression sans parenthèses où on n’a que des addictions et des soustractions, on effectue les calculs de la gauche à la droite.

5-15-2-30+56 = -10-2-30+56 = -12-30+56 = -42+56 = 14
d. Lorsqu’on a un quotient où le numérateur (ou le dénominateur) ont la forme d’une expression, on procède comme si ce numérateur était écrit entre parenthèses.

= = = = -13
e. Pour remplacer une multiplication « compliquée » pour une multiplication « simple » selon les valeurs concernées.
7·(6+2) = 7· 6 + 7·2 = 42+14 = 56 7·(6-2) = 7· 6 – 7·2 = 42-14 = 28

K · (a+b) = (k · a) + (k · b ) et K · (a-b) = (k · a) - (k · b )
5. Puissance des nombres entiers relatifs
Les nombres relatifs sont l’ensemble des nombres positifs et négatifs. Nous avons déjà étudié la puissance des nombres entiers positifs.
Rappelons :

La répétition d’un même facteur devrait normalement s’exprimer comme une puissance : l’écriture 5 x 5 concentrée en « 52 » devrait se lire « 5 exposant 2 » ou « 5 puissance 2 » alors qu’on dira plus volontiers « le carré de 5 » ou encore « 5 au carré » pour 52 .

Mais il faut faire attention

(-3)2  moins trois au carré

-32 moins, trois puissance deux
Puissance avec une base positifs
Par convention

Une puissance est un produit de facteurs égaux à la base (5) répétés 2 fois (l´exposant) :

On lit : a2 « a carré » ou « a au carré »

a3 « a cube » ou « a au cube »

an « a exposant n » ou « a puissance n »


PROPRIÉTÉS DES PUISSANCES





  1. Puissance d’un Produit: est égale au produit de la puissance des facteurs.

  2. (a . b)n = an . bn (a . b)5=a5 . b5 (3 . 8)4=34 . 84




  1. Puissance d’une Division: est égale à la division des puissances.

  2. (a : b)n = an : bn (a : b)5=a5 : b5 (3 : 8)4=34 : 84




  1. Puissance d’autre puissance: est une puissance avec la même base et qui a par exposant le produit des exposants.




  1. L’addition et la soustraction n´ont pas de propriétés. Exemple :




  1. (4+3)2 42 + 32 puisque (4+3)2 = 72 = 49 et 42+32 = 16+9 = 25




  1. (4-3)2 42 - 32 puisque (4-3)2 = 12 = 1 et 42-32 = 16-9 = 7



  1. e) Le produit de deux puissances de la même base est une puissance qui a la même base et dont l’exposant est égal à la somme des exposants.




  1. f) La division de puissances avec la même basse est une puissance avec la même basse et l’exposant est égal à l’exposant du numérateur moins l´exposant du dénominateur.


Puissance avec une base négatif
Par convention

Une puissance est un produit de facteurs égaux à la base (-5) répétés 2 fois (l´exposant) :



Une puissance est un produit de facteurs égaux à la base (-5) répétés 3 fois (l´exposant) :

En résumé :

Si l’exposant est pair le résultat est positif
Si l’exposant est impair le résultat est négatif


La racine carrée 



La racine carrée est l´opération contraire du carré d´un nombre.

ou bien

Exercices



1º) Dans une division euclidienne, le diviseur est 9, le quotient est 12 et le reste est 3. Quel est le dividende ?

2º) Le quotient entier de la division de a par 7 est 32 et le reste est 5. Que vaut a ?

3º) Le quotient entier de la division de 445 par b est 32 et le reste est 7. Que vaut b ?

4º) Quels sont les plus petits nombres qu’il faut enlever et ajouter au nombre 371 pour que le reste de sa division par 8 soit égal à 0 ?

5º) Dans une division euclidienne, le diviseur est 6 et le quotient est 8. Quels sont les dividendes possibles ?

6º) Luis dit à ses 5 frères : « Si je vous donne à chacun 6 billes, il me restera 7 billes ». Et si Luis donne 7 billes à chacun de ses frères, combien des billes lui reste-t-il ?
7º) Un stage de volley-ball est organisé à l’école durant les vacances de Pâques. Si tu sais que 21 filles et 27 garçons y participent, détermine le nombre d’équipes féminines, le nombre d’équipes masculines et le nombre d’équipes mixtes que les moniteurs peuvent former (une équipe de volley est composée de 6 joueurs)
8º) Combien de sachets contenant chacun 12 œufs en chocolat peut-on préparer avec un sac de 4 kg, si on sait que 1 kg contient 100 oeufs. Combien restera-t-il d’oeufs après la confection des petits sachets ?
9º) Exprime en langage mathématique …

  1. un nombre naturel multiplié par 7.

  2. Un nombre naturel pair

  3. Deux nombres naturels multiples de 3 consécutifs

  4. Trois nombres naturels multiples de 4 consécutifs.

  5. Le carré d’un nombre naturel impair.

  6. Le cube d’un nombre naturel pair.

  7. Le double d’un nombre naturel.

  8. Trois nombres naturels impairs consécutifs

  9. Un multiple de 5

  10. Un multiple de 5 augmenté de 2


6º) La somme de deux nombres consécutifs vaut 39. Quels sont ces nombres ?
7º) La somme de trois nombres consécutifs vaut 36. Quels sont ces nombres ?

8º) La somme de deux nombres pairs consécutifs vaut 38. Quels sont ces nombres ?

9º) La somme de deux multiples de 3 consécutifs vaut 27. Quels sont ces nombres ?
10º) La somme des deux nombres vaut 216 et leur PGCD (Le Plus Grand Commun Diviseur) 18. Détermine ces deux nombres.
11º) Le produit de deux nombres vaut 21 600 et leur PPCM (Le plus Petit Commun Multiple) est 360. Quels sont ces deux nombres?
12º) Exprime les grandeurs ci-dessous en utilisant des unités plus adéquats.

La taille d’un enfant 1,5 . 10 km

Le poids d’une lettre 2. 10 kg

La capacité d’une citerne de mazout 2,5 . 10 cl.

L’altitude approximative du Mont Blanc 4,8 . 10mm

Euclides
Les renseignements concernant la vie d’Euclide sont rares et on ne connaît même pas avec certitude les dates de naissance et de mort de ce mathématicien exceptionnel. Il serait né vers 350 avant Jésus-Christ. Il fonda l’école d’Alexandrie où il enseigne les mathématiques durant de nombreuses années.

Euclides a écrit un nombre important d’ouvrages, mais l’histoire ne retiendra que ses Éléments composés de 13 livres. Cet ouvrage serait le plus imprimé dans le monde … après la Biblie.

Euclide terminait l’exposé d’un théorème par la formule « ce qu’il fallait démontrer » phrase traduit en latin par « quod erat demostandum ». Notons que l’abréviation cqfd ne figure pas dans le Littre (dictionnaire de XIXe siècle), mais fait partie des expressions mathématiques actuelles. Ce cqfd est d’ailleurs parfois utilisé par des non mathématiciens pour signifier qu’une proposition a été prouvée.
+, -, *,  : DES SYMBOLES TRÈS ANCIENS
Jusqu’aux années 1500, le signe + est employé pour indiquer un bénéfice ou l’excès de poids d’une marchandise, le signe – pour un débit (une dépense, par exemple) ou une insuffisance de poids.

On trouve pour la première fois ces signes comme symbole de l’addition et de la soustraction dans un « Traité d’arithmétique à l’usage des commerçantes» écrit en allemand ( et non, comme d’habitude, en latin) par Johannes Widman, vers 1489.

Alors que jusqu’au XVIe siècle chez nous, on utilise les lettres p pour « plus » et m pour « moins » .
L’usage du signe x pour la multiplication fut généralisé par le mathématicien anglais Wiliam Oughtred, professeur à l’université de Cambridge, travailleur infatigable, ce qui ne l’empêcha pas de vivre jusqu’à quatre-vingt six ans !
:
Employé d’abord pour soustraire, ce signe devint celui de division grâce à l’anglais Jonh Wallis, prêtre érudit (il parlait couramment le latin, le grec, l’hébreu et ….. l’anglais), professeur à l’université de Oxford.

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