La m閠hode des 閘閙ents finis est une m閠hode de calcul num閞ique qui, ayant un profond caract鑢e plus physique qu抋bstrait, a 閠invent閑 plut魌 par les ing閚ieurs que par








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La mhode des 閘閙ents finis

COURS 1
NOTIONS INTRODUCTIVES
1.1 Introduction
La m閠hode des 閘閙ents finis est une m閠hode de calcul num閞ique qui, ayant un profond caract鑢e plus physique qu抋bstrait, a 閠invent閑 plut魌 par les ing閚ieurs que par les math閙aticiens.

Cette m閠hode a 閠appliqu閑 pour la premi鑢e fois dans des probl鑝es li閟 l抋nalyse des contraintes et depuis, elle a 閠閠endue dans d抋utres probl鑝es li閟 au milieu continu.

Dans toutes les applications l抋nalyste recherche calculer une quantitde champ, comme par exemple :


  • ApplicationQuantitde champAnalyse des contraintesChamp des contraintes ou champ des d閜lacementsAnalyse thermiqueChamp de temp閞ature ou flux de chaleurEcoulement des fluidesFonction de courant ou fonction du potentiel de vitesse

La m閠hode des 閘閙ents finis (abr間閑 MEF) repr閟ente une modalitd抩btenir une solution num閞ique correspondant un probl鑝e sp閏ifique. Cette m閠hode n抩ffre pas une formule pour une certaine solution et ne r閟oud pas une classe de probl鑝es. La MEF est une m閠hode approximative moins qu抲n certain probl鑝e pourrait 阾re extr閙ement simple conduisant ainsi une formule exacte toujours valable.

1.2 Noeuds et 閘閙ents
Une description non-sophistiqu閑 de la MEF pourrait 阾re d閒inie sous la forme suivante : la structure analyser est divis閑 en plusieurs 閘閙ents (petites pi鑓es comme celles qui forment un puzzle). Ces 閘閙ents sont ensuite reconnect閟 par l抜nterm閐iaire des noeuds (fig.1.1). Ces noeuds sont « des punaises ou « des points de colle qui maintiennent les 閘閙ents dans un ensemble unitaire.

Fig.1.1 Discrisation dne structure en noeuds et 閘閙ents (dent dne roue dent)

Le comportement de chaque 閘閙ent est d閏rit par un set d掗quations alg閎riques. Dans l抋nalyse des contraintes ces 閝uations sont des 閝uations d掗quilibre des noeuds. Du fait que le nombre de ces 閝uations est tr鑣 grand (centaines ou milliers), l抲tilisation d抲n ordinateur est absolument obligatoire.

Autrement dit, dans un 閘閙ent, une quantitde champ (ex. le champ de d閜lacement) est interpolpartir des valeurs existantes dans les noeuds. En connectant les 閘閙ents ensemble, la quantitde champ devient interpol閑 sur l抏ntier de la structure. Les meilleures valeurs de la quantitde champ dans les noeuds sont celles qui minimisent certaines fonctions (telle que l掗nergie totale). Le processus de minimisation g閚鑢e un set d掗quations alg閎riques simultan閑s pour les diff閞entes valeurs de la quantitde champ dans les noeuds.

Ce set d掗quations est d閏rit sous forme matric閑lle par :
(1.1)

où :

= vecteur d抜nconnues (valeurs de la quantitde champ dans les noeuds – ex : vecteur des d閜lacements) ;

[K] = matrice des constates (connue – ex : matrice de rigidit ;

{F} = vecteur des chargements (connu – ex : matrice des forces nodales).

1.3 Etapes dnalyse par la MEF

Donns dntr Procession des donns dntr Donns de sortie

(pr閜rocession) (postprocession)
- Coordonn閑s nodales

- Supports (appuis etc.)

- Blocages (conditions

la limite) - Contraintes

- Chargements - D閜lacements

- Propri閠閟 des mat閞iaux - Temp閞atures

- G閚閞ation du r閟eau

d掗l閙ents finis

A pr閟ent il existe un grand nombre de logiciels pour l抋nalyse par la MEF : ANSYS, COSMOS-M, PATRAN, IDEAS etc.

1.4 Classification des probles dnalyse des contraintes
Au cas ola variation du d閜lacement ou de la contrainte sont n間ligeables au long de l抋xe z (la direction normale au plan d抋nalyse) on consid鑢e un probl鑝e plan. Si par contre les d閜lacements et les contraintes peuvent varier dans toutes les directions x, y ou z la structure en cause peut 阾re appell閑 « Solide 3D  Un cas sp閏ial de solide ayant sym閠rie axiale (ex : une cloche) s抋ppelle de fa鏾n usuelle « Solide de r関olution  Les chargements leur tour peuvent ou non 阾re distribu閟 de fa鏾n axiale sym閠rique. Une plaque plane qui supporte des chargements dans son plan est un probl鑝e plan. Par contre, si la plaque est charg閑 par des forces qui n抋gissent pas dans son plan, cela repr閟ente un probl鑝e de flexion de plaque ou, plus simplement un probl鑝e de plaque (en anglais : PLATE PROBLEM ). Si la plaque est courbe elle devient une coque (en anglais : SHELL ). Les r閟ervoirs, par exemple, peuvent 阾re consid閞閟 dans l抋nalyse par la MEF, des coques.

En conclusion les 閘閙ents finis peuvent 阾re divis閟 en plusieurs cat間ories en fonction de la structure : 閘閙ents plans, 閘閙ents solides 3D, 閘閙ents solides sym閠rie axiale, 閘閙ents de plaque, 閘閙ents de coque. On trouve de m阭e des 閘閙ents de barre articul閑 (en anglais : TRUSS), 閘閙ents de poutre (en anglais : BEAM), 閘閙ents de fondation 閘astique etc.

1.5 Etapes dnalyse par la MEF
Pour faire une analyse par MEF prenez soin lorsque vous faites la mod閘isation. Mieux vaut pr関enir que gu閞ir. Le processus de mod閘isation n閏essite que l抋ction physique du probl鑝e 阾re r閟olu doit 阾re bien comprise afin de choisir des types d掗l閙ents finis appropri閟, convenables, qui puissent repr閟enter de fa鏾n ad閝uate l抋ction physique r閑lle.

Fig.1.2 Principales apes pour une analyse par la Mhode des Elents Finis

Il est souhaitable de ne pas utiliser des 閘閙ents « d閒orm閟 ou des 閘閙ents grossiers pour repr閟enter des variations consid閞ables d抲ne certaine quantitde champ. A l抋utre extr阭e un sur-raffinage pourrait conduire une perte de temps pour l抋nalyste ainsi qu掄 un surchargement de la m閙oire de l抩rdinateur.

Cependant, m阭e si un grand nombre d掗l閙ents est utilisdans la discr閠isation il y a une erreur d閚omm閑 erreur de discr閠isation qui existe du fait que la structure physique et le mod鑜e math閙atique ont une infinitde degr閟 de libert(qui sont au fait les d閜lacements pour une infinitde points de la structure, tandis que le mod鑜e avec 閘閙ents finis a un nombre fini de degr閟 de libert

Combien d掗l閙ents sont-ils n閏essaires pour une discr閠isation ? Imaginons que nous r閍lisons deux analyses par MEF, la deuxi鑝e fois utilisant un r閟eau de discr閠isation plus raffin Ce mod鑜e aura moins d抏rreurs de discr閠isation par rapport au premier et repr閟entera mieux la g閛m閠rie si l抩bjet physique a des surfaces courbes. Au cas oles deux analyses conduisent vers des solutions similaires, on suspecte que les r閟ultats n抩nt pas d抏rreurs remarcables. Le processus it閞atif de discr閠isation s抋rr阾era au moment oles erreurs par rapport la plus fine discr閠isation sont situ閑s au dessous de 5%.

A part les erreurs introduites par l抋nalyste lors de la discr閠isation, l抩rdinateur introduit des erreurs num閞iques par l抋rrondissage ou par le tronquage des nombres qui sont introduits dans les matrices et qui servent la r閟olution des 閝uations.

Les logiciels d抋nalyse par 閘閙ents finis sont devenus sur une large 閏helle des instruments de calcul facile utiliser et peuvent afficher les r閟ultats sous une forme tr鑣 attractive. M阭e le plus inhabile utilisateur peut offrir une r閜onse quelle qu抏lle soit. Mais une carte joliment color閑 des contraintes et des d閒ormations peut 阾re obtenue pour n抜mporte quel mod鑜e bon ou mauvais. Il se peut que la plupart des analyses par MEF soient si deffectueuses qu抏lles ne peuvent pas 阾re dignes de confiance.

Un utilisateur responsable doit comprendre suffisamment bien la nature physique du probl鑝e et le comportement des 閘閙ents finis afin de pr閜arer un mod鑜e convenable et de bien 関aluer la qualitdes r閟ultats. La responsabilitdes r閟ultats obtenus revient l抜ng閚ieur qui utilise le logiciel et non pas au vendeur de ce logiciel, m阭e si les r閟ultats sont affect閟 par les erreurs du programme.
1.6 Connaissances requises pour la rlisation des logiciels MEF
La MEF a un caract鑢e pluridisciplinaire. Pour pouvoir r閍liser des logiciels qui puissent r閟oudre certains types de probl鑝es dans le domaine du g閚ie m閏anique, il s抜mpose de maitriser les disciplines suivantes :

  1. la m閏anique des structures (statique, dynamique, la r閟istance des mat閞iaux, les vibrations m閏aniques) ;

  2. l抋nalyse num閞ique (proc閐閟 et algorithmes de calcul, graphique sur l抩rdinateur) ;

  3. programmation lin閍ire (C++, Pascal etc.)

De la famille des grands logiciels, avec de multiples facilit閟, r閍lis閟 par des compagnies sp閏ialis閑s qui sont g閚閞alement utilis閟 par des collectifs de recherche, font partie, entre autres, NASTRAN, ANSYS, COSMOS, ALGOR, IMAGES3D etc.
1.7 Connaissances nessaires un utilisateur MEF
Un utilisateur est mis dans la situation de r閟oudre un certain probl鑝e. On doit mentionner d鑣 le d閎ut que le logiciel appliquau probl鑝e respectif ne le r閟oud pas. Il ne fait que r閟oudre un mode cr殚 par l抲tilisateur. Les r閟ultats peuvent 阾re confirm閟 ou pas, en fonction du mod鑜e choisi par l抲tilisateur. La mod閘isation est une activitde simplification de la structure en l抏ncadrant ses diff閞entes portions dans une des cat間ories suivantes : barres, plaques, blocs massifs, en tenant compte des chargemets, appuis etc. La mod閘isation correcte (la plus proche de la r閍lit est un probl鑝e d抏xp閞ience, d抜nspiration et moins de la connaissance des fondements th閛riques de la m閠hode.


1.8 Discrisation
La M閠hode des El閙ents Finis a d関eloppune s閞ie de types d掗l閙ents finis qui, pour le d閎ut, peuvent 阾re classifi閟 en :

  1. 閘閙ents finis unidimensionnels (g閚閞alement des barres) ;

  2. 閘閙ents finis bidimensionnels (plaques et m阭es volumes) ;

  3. 閘閙ents finis tridimensionnels (blocs massifs).


El閙entslin閍iresparaboliques (quadratiques)cubiques

unidimensionnels

bidimensionnels

tridimensionnels

autres types

Masse Ressort Contact

Les 閘閙ents finis sont g閚閞閟 par des points qui ne sont que des n渦ds de la structure. Il existe des 閘閙ents ayant un degrsup閞ieur ceux cubiques (qui sont les plus performants) mais le plus courrament sont utilis閟 les 閘閙ents lin閍ires et paraboliques.

Certains 閘閙ents finis ont des n渦ds int閞ieurs pour am閘iorer la pr閏ision, mais l抲tilisateur ne travaille pas avec ces n渦ds. Ils sont g閚閞閟 et ensuite condens閟 dans la phase de calcul des matrices de rigiditdes 閘閙ents.

COURS 2
ANALYSE LINEAIRE STATIQUE DES BARRES ARTICULEES ET DES POUTRES
2.1 Introduction
Dans ce chapitre sera pr閟entet expliqule sens physique des matrices de rigiditpour les 閘閙ents de barre articul閑 et pour les 閘閙ents de poutre.

L抋nalyse statique n間lige le temps comme variable ind閜endante et reste valable autant que les d閒lexions sont constantes ou varient peu. L抋nalyse lin閍ire statique sera excluse au delde la limite d掗coulement (domaine plastique), oles d閒ormations sont suffisamment grandes conduisant une d閒aillance de la structure.

Apr鑣 avoir fait une analyse pr閘iminaire approximative, les principales 閠apes qu抜l faut prendre en compte au cours d抲ne analyse par MEF sont les suivantes :


  1. Pr閜aration du mod鑜e. En ce sens ci l抋nalyse doit contenir :

  2. la discr閠isation de la structure ou du milieu continu divisen 閘閙ents finis ;

  3. l抋pplication du chargement ;

  4. la prescription des supports.

  5. Accomplissement des calculs. Le logiciel doit :

  6. g閚閞er la matrice de rigidit[ki] de chaque 閘閙ent « i » ;

  7. relier les 閘閙ents ensemble, ce qui veut dire rassembler les matrices [ki] de chaque 閘閙ent « i pour obtenir la matrice globale [K] ;

  8. rassembler les chargements dans un vecteur global de chargements {F} ;

  9. imposer les conditions dans les supports ;

  10. r閟oudre les 閝uations pour le vecteur des inconnues {} (d閜lacements nodaux).

  11. Postprocession de l抜nformation contenue dans le vecteur {}. Dans l抋nalyse des contraintes, cela est 閝uivalent au calcul des contraintes et des d閒ormations.


La premi鑢e 閠ape est la plus importante du fait que cela n閏essite un bon jugement de l抋nalyste sur les types d掗l閙ents finis qui doivent 阾re utilis閟 dans l抋nalyse et combien de grossi鑢e ou raffinn閑 doit 阾re la discr閠isation dans diff閞entes r間ions du mod鑜e. La deuxi鑝e 閠ape est automatiquement r閍lis閑 par l抩rdinateur. De fa鏾n similaire, le troisi鑝e pas est r閍lispar l抩rdinateur, ola carte en couleur des contraintes et des d閒ormations r閟ultantes sera fournie automatiquement.

2.2 Duction de la matrice de rigiditpour llent de barre articul


  1. Mhode directe.


On consid鑢e un 閘閙ent de barre uniforme, prismatique et 閘astique, de longueur L, de module 閘astique E et d抋ire de la section transversale A (fig. 2.1). Un noeud est localischacune des extr閙it閟 de la barre. Les seuls d閜lacements qui sont permis sont ceux axiaux.

On d閜lace d抋bord le premier noeud, ensuite le deuxi鑝e et, dans chaque cas, on calcule les forces qui doivent 阾re appliqu閑s dans les noeuds pour maintenir le m阭e 閠at de d閜lacement.

Ces forces sont faciles d閠erminer partir de la formule 閘閙entaire de la R閟istance des mat閞iaux, , d抩la force qui r閟ultera sera : .

On note avec Fij la force au noeud « i (i =1,2) associ閑 au d閜lacement du noeud « j (j = 1,2).

Pour les deux cas, on aura :

F11 = F21 =

(2.1)
F12 = F22 =

Fig.2.1 Forces nodales associs aux dlacements nodaux pour un 閘閙ent de barre articul
Si on 閏rit les relations (2.1) sous forme matric閑lle, on aura :
(2.2)
Conform閙ent la convention de signes, on consid鑢e que les forces ainsi que les d閜lacements sont positifs dans la m阭e direction (dans notre cas de gauche droite). Si on remplace les forces par les expressions (2.1) on aura :
(2.3)
b) Procure formelle

La m閠hode directe pr閟ent閑 ci-dessus ne peut fournir une expression de la matrice de rigiditque pour les cas tr鑣 simples, loles formules d閞iv閑s de la R閟istance des mat閞iaux fournissent des relations de calcul entre les d閜lacements nodaux et les forces nodales.

En g閚閞alisant, on doit trouver une formule de la matrice de rigidit[K] valable pour n抜mporte quel type d掗l閙ent. Cette formule g閚閞ale est :
(2.4)

où :

[B] = matrice d閒ormation-d閜lacement

[E] = matrice des propri閠閟 du mat閞iau (matrice constitutive)

dV = incr閙ent de l掗l閙ent de volume V.
L掗quation (2.4) peut 阾re d閐uite du point de vue 閚erg閠ique, en affirmant que le travail Lext r閍lispar les forces nodales qui sont appliqu閑s pour cr閑r des d閜lacements nodaux est emmagasindans l掗l閙ent comme 閚ergie de d閒ormation 閘astique (Lext = Udef).

Pour obtenir la matrice [B] pour l掗l閙ent de barre articul閑, on commence par 閏rire l抏xpression du d閜lacement axial « u un point arbitraire de la barre.

Comme on peut constater de la figure 2.2, suite une interpolation du d閜lacement « u entre les deux valeurs nodales connues, u1 et u2, nous conduit à :
, (2.5)

ou bien :
(2.6)

[N] = matrice des fonctions de forme

{d} = vecteur des d閜lacements nodaux
Chaque fonction de forme d閏rit comment varie « u avec la distance x lorsque le degrde libertcorrespondant ui est 間al 1 tandis que l抋utre est 間al 0, c抏st-dire :

  1. pour x = 0, = 1 et = 0 ;

  2. pour x = L, = 0 et = 1.


Fig.2.2 Les fonctions de forme pour un 閘閙ent de barre deux noeuds
La d閒ormation axiale x = (2.7)
Donc, en appliquant la relation (2.4) on obtient :
(2.8)
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