«La photocopie tue l’auteur alors aider-nous à vous aider»








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« JESUS-CHRIST fait ma Force » Mr Serge-GUENAMAN

Préface

Les gammes de documents intitulés ‘’ GUENAMAN ’’ sont l’œuvre de Mr Serge-GUENAMAN, Etudiant en Licence Mathématique-Informatique Appliqués à l’Université d’Abobo-Adjamé en Côte d’Ivoire. Il entend par l’édition de ces documents contribuer à la formation intellectuelle des élèves des classes de Terminale Scientifiques. Selon lui, le travail est le seul moyen pour une personne de s’affirmer, de retrouver la liberté.

Vous trouverez dans ce document ‘’ GUENAMAN, OPTION MATH ‘’ des sujets de Math de la France, de quelques états des Etats-Unis et de l’Afrique septentrionale aux fins de vous confronter aux élèves de ces états qui prône l’éducation et la formation. Ceci vous élargie certainement votre champ d’action et vous prépare efficacement à affronter le BAC.

Pour une meilleure et rapide compréhension, les exercices de ce document sont regroupés par thèmes. Ils sont tous corrigés, commentés et plusieurs fois révisés. Cependant, tout homme étant sujet à l’erreur, il est possible que vous y déceliez des erreurs. Dans ce cas, contactez rapidement la maison d’édition par appel au +225 05 76 90 45 ou par mail à l’adresse guenaman@live.fr pour une éventuelle correction du document. Toutefois, Mr Serge-GUENAMAN tient à rappeler que la chance d’y trouver des erreurs est très minime, vue le sérieux dont il a usé lors de la rédaction du document. Aussi se met-il à votre entière disposition pour une meilleure explication des exercices que vous trouverez difficiles. Que le courage et la persévérance soient vos alliées dans ce long et pénible combat que vous avez entrepris: les études.

Mr Serge-GUENAMAN s’excuse pour la qualité des caractères, c’est juste pour luter contre toute photocopie illégale du document. « La photocopie tue l’auteur alors aider-nous à vous aider ». Il existe aussi ‘’ GUENAMAN, OPTION PHYSIQUES ‘’ et ‘’ GUENAMAN, OPTION CHIMIE ‘’.

Bonne compréhension à vous et bonne chance pour le BAC.

Mr Serge-GUENAMAN

PARTIE COMPLEXE

Exercice 1 :
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct http://homeomath.imingo.net/symbole/reperouv.gifd'unité graphique 1 cm.
On désigne par i le nombre complexe de module 1 et d'argument http://homeomath.imingo.net/symbole/pi.gif/2.
1. Résoudre dans l'ensemble http://homeomath.imingo.net/symbole/ensembc.gifdes nombres complexes l'équation z2 + 4z + 16 = 0
2. Pour tout nombre complexe z, on pose P(z) = z3 - 64.
a. Calculer P(4)
b. Trouver les réels a, b et c tels que, pour tout nombre complexe z,
P(z) = (z - 4)( az2 + bz + c)
c. Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes l'équation P(z) = 0
3. On considère les points A, B et C d'affixes respectives :
zA = -2 + 2ihttp://homeomath.imingo.net/symbole/rac3.gif , http://homeomath.imingo.net/image3/bac07137.gif, zC = 4.
a. Etablir que :
http://homeomath.imingo.net/image3/bac07138.gif
Ecrire zB sous la forme http://homeomath.imingo.net/image3/bac07139.gif, où r est un nombre réel strictement positif et http://homeomath.imingo.net/symbole/teta.gif un nombre réel compris entre - http://homeomath.imingo.net/symbole/pi.gif et http://homeomath.imingo.net/symbole/pi.gif.
b. Placer les points A, B et C dans le plan muni du repère http://homeomath.imingo.net/symbole/reperouv.gif.
c. Déterminer la nature du triangle ABC.
4. On appelle D l'image de A par la rotation de centre O et d'angle http://homeomath.imingo.net/symbole/pi.gif/6 , et on appelle zD l'affixe du point D.
a. Déterminer le module et un argument de zD .
b. En déduire la forme algébrique de zD .
c. Placer le point D sur le graphique précédent.

Exercice N°2
1. Déterminer trois réels a, b et c tels que pour tout nombre complexe z on ait :
z3 - 8 = (z - 2) (az2 + bz + c).
En déduire la résolution dans http://homeomath.imingo.net/symbole/ensembc.gifde l'équation z3 - 8 = 0.
2. Dans le plan muni d'un repère orthonormal http://homeomath.imingo.net/symbole/reperouv.gif(unité 2 cm), on considère les points A d'affixe zA = 2, B d'affixe zB = -1 + ihttp://homeomath.imingo.net/symbole/rac3.gif et C d'affixe zC = -1 - ihttp://homeomath.imingo.net/symbole/rac3.gif.
a. Placer les points A, B et C
b. Déterminer la nature du triangle ABC.
Justifier la réponse.
3. On considère la rotation R de centre O et d'angle http://homeomath.imingo.net/symbole/pi.gif/6 et on appelle A', B' et C' les images respectives de A, B et C par R.
a. Déterminer les formes exponentielles de zA, zB, et zC puis de zA', zB', et zC'.
b. Placer A', B' et C' sur la figure précédente.
c. Vérifier que zA', zB', et zC' sont solutions de l'équation z3 = 8i.

Exercice N°3

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct http://homeomath.imingo.net/symbole/reperouv.gif.
L'unité graphique est 2 cm. On note i le nombre complexe de module 1 et d'argument http://homeomath.imingo.net/symbole/pi.gif/2
1) Pour tout nombre complexe z, on pose :
P(z) = z3 + (2 http://homeomath.imingo.net/symbole/rac2.gif-4) z2 + (8 - 8http://homeomath.imingo.net/symbole/rac2.gif)z + 16http://homeomath.imingo.net/symbole/rac2.gif
a) Calculer P(-2http://homeomath.imingo.net/symbole/rac2.gif)
b) Déterminer une factorisation de P(z) sous la forme :
P(z) = (z + 2http://homeomath.imingo.net/symbole/rac2.gif)(z2 + http://homeomath.imingo.net/symbole/alpha.gifz + http://homeomath.imingo.net/symbole/beta.gif) où http://homeomath.imingo.net/symbole/alpha.gif et http://homeomath.imingo.net/symbole/beta.gif sont deux nombres réels que l' on déterminera.
c) Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes l'équation : P(z) = 0.
2) On note A, B et C les points d'affixes respectives : a = 2 + 2 i , b = 2 - 2 i et c = -2http://homeomath.imingo.net/symbole/rac2.gif
a) Placer les points A, B et C dans le repère http://homeomath.imingo.net/symbole/reperouv.gif.
Démontrer que A, B, C sont sur un même cercle http://homeomath.imingo.net/symbole/gammag.gifde centre O, dont on donnera le rayon.
b) Déterminer un argument du nombre complexe a puis un argument du nombre complexe b.
En déduire une mesure en radian de l'angle ( http://homeomath.imingo.net/symbole/vecob.gif; http://homeomath.imingo.net/symbole/vecoa.gif)
c) Déterminer alors une mesure en radian de l'angle http://homeomath.imingo.net/image3/bac07114.gif
d) Démontrer qu'une mesure de l'angle (http://homeomath.imingo.net/symbole/vecab.gif; http://homeomath.imingo.net/symbole/vecac.gif) est 3http://homeomath.imingo.net/symbole/pi.gif/8
e) En déduire l'égalité :
http://homeomath.imingo.net/image3/bac07115.gif

Exercice N°4

1. Dans cette question, il est demandé au candidat d'exposer des connaissances.
Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct http://homeomath.imingo.net/symbole/reperouv.gif.
Soit R la rotation du plan de centre http://homeomath.imingo.net/symbole/gomega.gif, d'affixe http://homeomath.imingo.net/symbole/omega.gifet d'angle de mesure http://homeomath.imingo.net/symbole/teta.gif.
L'image par R d'un point du plan est donc définie de la manière suivante :
- R(http://homeomath.imingo.net/symbole/gomega.gif) = http://homeomath.imingo.net/symbole/gomega.gif
- pour tout point M du plan, distinct de http://homeomath.imingo.net/symbole/gomega.gif, l'image M' de M est définie par
http://homeomath.imingo.net/symbole/gomega.gifM' = http://homeomath.imingo.net/symbole/gomega.gifM et ( http://homeomath.imingo.net/symbole/vecomegam.gif; http://homeomath.imingo.net/symbole/vecomegam.gif' ) = http://homeomath.imingo.net/symbole/teta.gif [2http://homeomath.imingo.net/symbole/pi.gif]
On rappelle que, pour des points A et B d'affixes respectives a et b,
AB = |b - a| et (http://homeomath.imingo.net/images/vecteuru.gif , http://homeomath.imingo.net/symbole/vecab.gif) = arg(b - a) [2http://homeomath.imingo.net/symbole/pi.gif]
Question : Montrer que les affixes z et z' d'un point quelconque M du plan et de son image M' par la rotation R, sont liées par la relation
http://homeomath.imingo.net/image3/bac079.gif
2. On considère les point I et B d'affixes respectives zI = 1 + i et zB = 2 + 2i.
Soit R la rotation de centre B et d'angle de mesure http://homeomath.imingo.net/symbole/pi.gif/3
a. Donner l'écriture complexe de R.
b. Soit A l'image de I par R. Calculer l'affixe zA de A.
c. Montrer que O, A et B sont sur un même cercle de centre I.
En déduire que OAB est un triangle rectangle en A.
Donner une mesure de l'angle (http://homeomath.imingo.net/symbole/vecoa.gif ,http://homeomath.imingo.net/symbole/vecob.gif)
En déduire une mesure de l'angle (http://homeomath.imingo.net/images/vecteuru.gif , http://homeomath.imingo.net/symbole/vecoa.gif)
3. Soit T la translation de vecteur http://homeomath.imingo.net/symbole/vecio.gif.
On pose A' = T(A).
a. Calculer l'affixe zA' de A'.
b. Quelle est la nature du quadrilatère OIAA'
c. Montrer que - http://homeomath.imingo.net/symbole/pi.gif/12 est un argument de zA'

Exercice N°5

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal http://homeomath.imingo.net/symbole/reperouv.gifd'unité graphique 2 cm.
On désigne par i le nombre complexe de module 1 et d'argument http://homeomath.imingo.net/symbole/pi.gif/2
1. Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes http://homeomath.imingo.net/symbole/ensembc.gifl'équation z2 - 2z + 4 = 0.
2. On considère les points A et B d'affixes respectives zA = 1 + ihttp://homeomath.imingo.net/symbole/rac3.gif et zB = 1 -i http://homeomath.imingo.net/symbole/rac3.gif.
a) Déterminer le module et un argument de zA et zB.
b) Donner la forme exponentielle de zA .
c) Placer les points A et B dans le plan muni du repère http://homeomath.imingo.net/symbole/reperouv.gif
3. On désigne par R la transformation du plan complexe qui à tout point M d'affixe z fait correspondre le point M' d'affixe z' tel que :
a) Indiquer la nature de la transformation R et préciser ses éléments caractéristiques.
b) On nomme C l'image du point A par la transformation R.
Déterminer la forme exponentielle de l'affixe zC du point C. En déduire sa forme algébrique.
c) Placer le point C.
d) Montrer que le point B est l'image du point C par la transformation R. Quelle est la nature du triangle ABC ? Justifier votre réponse.

Exercice N°6

Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal direct http://homeomath.imingo.net/symbole/reperouv.gif(unité graphique 2 cm), on considère les points A, B et C d'affixes respectives zA = 2, zB = 1 + ihttp://homeomath.imingo.net/symbole/rac3.gif et zC = 1 - ihttp://homeomath.imingo.net/symbole/rac3.gif
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